예각삼각형 $T$의 제일 긴 변의 길이를 $s$라 하자. 이때 삼각형 내부의 임의의 점 $P$에 대해, $P$에서 거리가 $s/\sqrt{3}$이하인 $T$의 꼭지점이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)
태그 보관물: 삼각형
2012 Baltic Way 팀수학경시대회 11번문제
$\angle A=60^\circ$인 삼각형 $ABC$가 있다. 이 삼각형의 내부에 $\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^\circ$가 되게 점 $T$를 잡았다. 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 이때 $TA+TB+TC=2AM$임을 증명하라.
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제
삼각형 $ABC$의 외접원 $O$의 지름의 길이가 $2$이고, 꼭지각 $A$는 둔각이다. 점 $D$는 변 $AB$ 위의 점으로 $\overline{AD}=\overline{AC}$를 만족하는 점이고, 점 $K$는 원 $O$ 위의 점으로 선분 $AK$가 원 $O$의 지름이 되게 하는 점이다. 선분 $AK$와 선분 $CD$가 점 $L$에서 만나고, 점 $D$, $K$, $L$을 지나는 원과 원 $O$가 점 $P$($\ne K$)에서 만난다고 하자. $\angle BCD=\angle BAP=10^\circ$이면 $\overline{DP}=\sin \frac{\angle BAC}{2}$임을 보여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
2012 중국여자수학올림피아드 5번문제
아래 그림과 같이, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고 내접원이 변 $AB$, 변 $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 삼각형 $BCI$의 외심을 $O$라고 할 때, $\angle ODB=\angle OEC$임을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간 동안 5~8번 문제)
2012 국제수학올림피아드 5번문제
$\angle BCA=90^\circ$인 삼각형 $ABC$에 대하여, 점 $D$를 $C$에서 변 $AB$에 내린 수선의 발이라고 하고, 점 $X$를 선분 $CD$위의 내점(양 끝점이 아닌 점)이라 하자. 점 $K$는 선분 $AX$ 위의 점으로 $BK=BC$를 만족하고, 점 $L$은 선분 $BX$ 위의 점으로 $AL=AC$를 만족한다고 하자. 점 $M$을 직선 $AL$과 $BK$의 교점이라 할 때, $MK=ML$임을 보여라.
(2012년 7월 11일 아르헨티나 Mar del Plata)
2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 4번문제
삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선 $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.