양의 정수의 집합 $\mathbb N$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to \mathbb N$을 모두 찾으시오.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n!)=f(n)!$.
(ii) 모든 서로 다른 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(m)-f(n)$은 $m-n$의 배수이다.
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2012 미국수학올림피아드 4번문제
양의 정수의 집합을 $\mathbb{Z}^+$라 하자. 다음 두 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$를 모두 찾으시오.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n!)=f(n)!$이다.
(ii) 모든 서로 다른 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(m)-f(n)$은 $m-n$으로 나누어 떨어진다.
2012 중국 TST1 둘째날 2번문제
양의 정수 $n$의 양의 약수의 갯수를 $\tau(n)$이라 하자. 만일 $n$보다 작은 모든 양의 정수 $m$에 대해 $\tau(m)<\tau(n)$이면 $n$을 좋은 수라고 부르자. 이때 임의의 양의 정수 $k$에 대해, $k$의 배수가 아닌 좋은 수는 많아야 유한개 밖에 없음을 증명하라.
2011 캐나다수학올림피아드 1번문제
숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이 각각 10개씩 있는 70자리 수들을 생각하자. 이러한 수들끼리는 어떤 수가 다른 수의 약수가 될 수 없음을 보여라.
(2011년 3월 23일)
2012 영국수학올림피아드 2라운드 4번문제
다음을 만족시키는 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하라: 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대해 $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 $1\le n\le k$에 대해 $m$의 배수라 할때, $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 $m$의 배수임을 증명하라.
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)
2010 제24회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제
양의 정수 $7^{2^{20}}+7^{2^{19}}+1$은 소수인 약수를 21개 이상 가짐을 보여라.
(2010년 8월 22일 10:00-12:30)