연속함수 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$이 있다. 만일 모든 면적이 $1$인 직사각형 $R$에 대해 $f(x,y)$를 $R$에 대해 이중적분하면 $0$이 나온다고 하자. 이때 $f(x,y)$는 항상 $0$인가?
(2012년 12월 1일)
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2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A3
연속함수 $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$가 다음 세 조건을 만족한다.
(i) 모든 $x\in [-1,1]$에 대해 $f(x)=\frac{2-x^2}{2} f\left(\frac{x^2}{2-x^2}\right) $.
(ii) $f(0)=1$.
(iii) $\lim_{x\to 1^-} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x}}$이 존재하고 유한하다.
이때 이 $f$가 유일하게 존재함을 증명하고 $f$를 구하여라.
(2012년 12월 1일)