완전제곱수가 아닌 양의 정수의 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$의 원소 $n$에 대해 $n\lt a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_r$이면서 $n\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_r$이 완전제곱수가 되게 하는 정수의 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_r$을 생각했을 때, $f(n)$을 그러한 수열이 가질 수 있는 최소의 $a_r$ 값이라고 하자. 예를 들어 $2\cdot 3\cdot 6$은 완전제곱수이지만 $2\cdot 3$, $2\cdot 4$, $2\cdot 5$, $2\cdot 3\cdot 4$, $2\cdot 3\cdot 5$, $2\cdot 4\cdot 5$, $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$는 완전제곱수가 아니므로, $f(2)=6$이다. 이때 함수 $f$가 일대일함수임을 보여라.
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2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 4번문제
임의의 $a,b\in M$에 대해 그 합 $a+b$가 $1$ 아닌 완전제곱수를 약수로 갖지 않도록 하는 양의 정수의 무한집합 $M$이 존재하는가?
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)
2013 제27회 노르딕 수학경시대회 1번문제
$n\ge 1$에 대해 수열 $\{a_n\})$이 $a_1=1$이고 모든 $n\ge 1$에 대해 \[ a_{n+1}=\lfloor a_n+\sqrt{a_n}+\frac12\rfloor\]으로 주어져 있다. 단, $\lfloor x\rfloor$는 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것이다. 이때 모든 $n\le 2013$ 중 $a_n$이 완전제곱수가 되는 $n$을 모두 찾아라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)
2013 중국 TST2 2번문제
다음 성질을 만족하는 양의 정수의 단조 증가 수열이 존재함을 보여라.
(1) 어떤 수 $K$가 있어서 $a_n\lt 1.01^n K$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 성립한다.
(2) 수열 $\{a_n\}$의 유한개의 항을 어떻게 합하여도 완전제곱수가 아니다.
(2013년 3월 18일, 출처, 4시간 30분)
2013 일본수학올림피아드 본선 3번문제
정수 $n\ge 2$에 대해, 다음 두 조건이 성립하도록 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$이 존재할 양의 정수 $m$ 중 최솟값을 구하여라.
(1) $a_1<a_2<\cdots < a_n=m$
(2) $\frac{a_1^2+a_2^2}{2}$, $\frac{a_2^2+a_3^2}{2}$, $\cdots$, $\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ 모두 완전제곱수이다.
(2013년 2월 11일, 총 4시간, 출처)
2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 2번문제
정수 $m^{20}+{11}^n$이 완전제곱수가 될 양의 정수 $m$, $n$이 존재하는가?