예각삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 점 $A’$, $B’$, $C’$을 잘 잡아서 각 삼각형 $AB’C’$, $BC’A’$, $CA’B’$의 외접원이 $O$를 지나게 하자. 중심이 $B’$이고 반지름이 $B’C$인 원과 중심이 $C’$이고 반지름이 $C’B$인 두 원의 근축을 $\ell_a$라 하자. 마찬가지로 $\ell_b$와 $\ell_c$를 정의하자. 이때 $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$가 이루는 삼각형의 수심은 삼각형 $ABC$의 수심과 같음을 보여라.
태그 보관물: 외심
2012 이란 TST 시험2 둘째날 2번문제
중심이 $O$인 원$\omega$ 위에 $\frac\pi3<\angle AOB<\frac{2\pi}{3}$이 되게 두 점 $A$, $B$를 잡자. 삼각형 $AOB$의 외심을 $C$라 하자. 점 $C$를 지나는 직선 중에 $OC$ 사이에 각이 $\frac\pi3$이 되게 직선 $\ell$을 잡자. 직선 $\ell$이 원 $\omega$의 점$A$, 점$B$의 접선들과 각각 $M$, $N$에서 만난다고 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 원 $\omega$와 다시 만나는 아닌 점을 각각 $Q$, $R$이라 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 서로 만나는 $C$ 아닌 점을 $P$라 하자. 이때 직선 $OP$와 직선 $QR$이 서로 수직으로 만난다는 것을 보여라.
2012 중국여자수학올림피아드 5번문제
아래 그림과 같이, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하고 내접원이 변 $AB$, 변 $AC$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 삼각형 $BCI$의 외심을 $O$라고 할 때, $\angle ODB=\angle OEC$임을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간 동안 5~8번 문제)
2012 중국 TST3 첫째날 1번문제
수심이 $H$인 예각삼각형 $ABC$의 변 $AB$와 $AC$위에 각각 점 $M$, $N$을 $\angle HMB=\angle HNC=60^\circ$가 되게 잡자. 삼각형 $HMN$의 외심을 $O$라 하자. 삼각형 $DBC$가 정삼각형이 되게 $D$를 직선 $BC$로 나누어진 평면에서 $A$와 같은 쪽에 있도록 잡자. 이때 $H$, $O$, $D$가 한 직선 상에 있음을 증명하라.
2012 유럽여학생수학올림피아드 1번문제
외심이 $O$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $D$, $E$, $F$를 $DE$와 $CO$가 수직으로 만나고 $DF$가 $BO$가 수직으로 만나게 잡는다. 삼각형 $AFE$의 외심을 $K$라 할 때, 직선 $DK$와 $BC$가 수직으로 만남을 증명하여라.
(2012년 4월 12일. 첫째날. 4시간30분동안 4문제)
2009 제23회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제
삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$라 하자. 세 삼각형 $BIC$, $CIA$, $AIC$의 외심을 각각 $D$, $E$, $F$라 하고, 세 선분 $DI$, $EI$, $FI$의 중점을 각각 $P$, $Q$, $R$라 할 때, 삼각형 $PQR$의 외심 $M$은 선분 $IO$의 중점임을 보여라.
(2009년 8월 23일 오전, 2시간 30분, 출처)