삼각형 $ABC$의 외접원 $\omega$과 만나지 않는 직선 $\ell$이 있다. 원 $\omega$의 중심에서 $\ell$에 내린 수선의 발을 $P$라 하자. 직선 $BC$, $CA$, $AB$와 직선 $\ell$이 각각 $X$, $Y$, $Z$에서 만나며 이 세 점 모두 $P$와 다르다고 한다. 이때 삼각형 $AXP$, $BYP$, $CZP$의 외접원은 $P$가 아닌 공통의 점을 갖거나, 혹은 $P$에서 서로 수직으로 만난다는 것을 증명하라.
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2013 미국수학올림피아드 1번문제
삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $P$, $Q$, $R$이 있다. 삼각형 $AQR$, $BRP$, $CPQ$의 외접원을 각각 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$라 하자. 선분 $AP$가 원 $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$와 만나는 점을 각각 $X$, $Y$, $Z$라 할 때, \[ \frac{YX}{XZ}=\frac{BP}{PC}\]임을 증명하라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)
2013 제5회 베네룩스수학올림피아드 3번문제
원 $\Gamma$에 내접한 삼각형 $ABC$가 있고 $I$를 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심이라 하자. 직선 $AI$, $BI$, $CI$가 원 $\Gamma$와 각각 $D(\neq A)$, $E(\neq B)$, $F(\neq C)$에서 만난다고 하자. 원 $\Gamma$의 점 $F$, $D$, $E$에서의 접선들이 각각 직선 $AI$, $BI$, $CI$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$, $T$라 하자. 이때 \[ AR \cdot BS \cdot CT = ID \cdot IE\cdot IF\]임을 보여라.
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)
2013 유럽여학생수학올림피아드 5번문제
삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Omega$라 하자. 변 $AC$와 변 $BC$에 접하고 원 $\Omega$와 점 $P$에서 내접하는 원을 $\omega$라 하자. 변 $AB$와 평행하고 삼각형 $ABC$의 내부를 지나는 직선이 원 $\omega$와 점 $Q$에서 접한다고 한다.
이때 $\angle ACP=\angle QCB$임을 증명하라.
(2013년 4월 11일 룩셈부르크, 4시간 30분, 출처)
2013 캐나다수학올림피아드 3번문제
각$C$가 직각인 직각삼각형 $ABC$의 무게중심을 $G$라 하자. 반직선 $AG$ 위의 점 $P$가 $\angle CPA=\angle CAB$가 되게 하고, 반직선 $BG$ 위의 점 $Q$가 $\angle CQB=\angle ABC$가 되게 하자. 이때 삼각형 $AQG$의 외접원과 삼각형 $BPG$의 외접원이 변 $AB$ 위의 점에서 만남을 보여라.
(2013년 3월 27일, 출처)
2013 중국 TST3 2번문제
삼각형 $ABC$의 외접원의 중심이 $O$라 하고, 외접원에서 $B$에서 $A$를 지나 $C$로 가는 원호의 중점을 $P$라 하고 $PQ$가 외접원의 지름이 되게 $Q$를 잡자. 삼각형 $ASBC$의 내심 $I$에 대해 직선 $PI$와 $BC$의 교점을 $D$라 하자. 삼각형 $AID$의 외접원과 직선 $PA$가 점 $F$($F\neq A$)에서 만난다. 선분 $PD$위의 점 $E$가 $DE=DQ$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름을 $R$, 내접원의 반지름을 $r$이라 하자. 만일 $\angle AEF=\angle APE$이면 $\sin^2 \angle BAC=\frac{2r}{R}$임을 증명하라.
(2013년 3월 24일, 출처, 4시간 30분)