양의 정수들의 집합에서 다음과 같은 규칙으로 정의된 함수 $f(n)$이 있다.\[ f(1)=2, \qquad f(n+1) = (f(n))^2 – f(n) + 1 \quad (n=1,2,3,\ldots)\] 모든 정수 $n>1$ 에 대해 다음을 증명하여라.\[ 1 – \frac1{2^{2^{n-1}}} < \frac1{f(1)} + \frac1{f(2)} + \cdots + \frac1{f(n)} < 1 - \frac1{2^{2^n}}\]
태그 보관물: 점화식
1989 아일랜드 수학올림피아드 3번문제
$a_1 = 1$, $a_{2n} = a_n$, $a_{2n+1} = a_{2n}+1$ $(n \geq 1)$ 의 점화식으로 주어진 수열 $a_1, a_2, \dotsc$ 이 있다. $a_1, a_2, \dotsc, a_{1989}$ 중에서 가장 큰 항의 값을 구하고, 그 값이 여기에 몇 번이나 나타나는지 구하여라.
2013 이란 TST 3번문제
음 아닌 정수 $m$, $n$에 대해 실수 $a(m,n)$을 아래와 같이 정의하자. 먼저 $a(0,0)=2$라 하고, 모든 양의 정수 $n$에 대해 $a(0,n)=1$, $a(n,0)=2$이며, 임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대해 \[ a(m,n)=a(m-1,n)+a(m,n-1)\]이다. 이때 임의의 양의 정수 $k$에 대해 다항식 \[ P_k(x)=\sum_{i=0}^k a(i,2k+1-2i) x^i$이 0이 되게 하는 모든 $x$는 실수임을 증명하라.
(2013년, 출처)
2013 아벨수학경시대회 최종라운드 1b번문제
$a_1=1$이고 모든 $n\ge1$에 대해 \[a_{n+1}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+1\]인 수열 $a_1,a_2,\ldots$이 주어져있다. 이때 임의의 양의 실수 $\beta$에 대해 $\alpha_k \lt \beta k$인 k가 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 7일, 4시간, 출처)
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 5번문제
$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.
$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.
$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)
2012 제26회 한국수학올림피아드 중등부 6번문제
$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.
$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.
$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)