평면 위에 무한대의 점 \[ \ldots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3,\ldots\]을 잘 잡아서 다음 성질이 성립하게 할 수 있음을 보여라.
서로 다른 세 정수 $a$, $b$, $c$에 대해 점 $P_a$, $P_b$, $P_c$가 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 $a+b+c=2014$이다.
태그 보관물: 조합기하
2005 미국수학올림피아드 5번문제
$n$은 1보다 큰 정수이다. 평면 위에 $2n$개의 점이 주어져 있고, 이 중에 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다. 이 $2n$개의 점 중 $n$개의 점을 파랑으로, 나머지 $n$개의 점을 빨강으로 칠했다. 파란 점 하나와 빨간 점 하나를 지나는 이 평면 위의 직선 중에서, 이 직선에 의해 나뉜 한 영역이(그래서 반대쪽 영역도) 같은 수의 파란 점과 빨간 점을 갖고 있을 때, 이 직선을 균형 직선이라 부르기로 하자. 균형 직선은 항상 2개 이상 있음을 증명하여라.
2015 아시아태평양수학올림피아드 4번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 평면 위에 $2n$개의 서로 다른 직선이 있는데 임의의 두 직선도 서로 평행하지 않다고 한다. 이 중 $n$개는 파랑색이고 나머지 $n$개는 빨강색이다. 하나 이상의 파란 직선 위에 있는 평면의 모든 점의 집합을 $\mathbb B$라 하고, 하나 이상의 빨간 직선 위에 있는 평면의 모든 점의 집합을 $\mathbb R$이라 하자. 이때 $\mathbb B$의 점 정확히 $2n-1$개를 지나고 $\mathbb R$의 점도 정확히 $2n-1$개를 지나는 원이 존재함을 보여라.
2015 제28회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제
반지름은 $1$이고 중심이 서로 다른 원 $2015$개가 평면에 있다. 이 중 $27$개의 원을 뽑아 다음 조건을 만족하는 모임 $C$를 만들 수 있음을 보여라.
$C$의 임의의 두 원은 서로 만나거나 $C$의 어떤 두 원도 서로 만나지 않는다.
2015 루마니아 수학 마스터 6번문제
주어진 양의 정수 $n$에 대해 다음 조건들을 동시에 만족하는 가장 큰 실수 $\mu$를 구하여라. 한 변 길이가 $1$인 정사각형 $U$ 내부에 있는 임의의 $4n$개의 점의 집합 $C$에 대해
* 각 변은 $U$의 어떤 변과 평행하고,
* 내부에는 $C$의 점 중 정확히 한 점만 포함하며,
* 넓이는 $\mu$ 이상인
$U$에 포함된 직사각형 $T$가 존재한다.
1998 미국수학올림피아드 6번문제
정수 $n \geq 5$ 에 대해, 다음을 만족하는 가장 큰 정수 $k$를 ($n$에 대한 식으로) 구하여라: 사각형 $A_{i}A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$들 중 정확히 $k$개가 내접원을 갖는 볼록$n$각형 $A_1A_2 \cdots A_n$이 존재한다(단, $A_{n+j} = A_{j}$ 로 본다).