$n$($n\ge 4$)개의 팀이 있는 축구 토너먼트 대회에서 각 쌍의 팀은 정확히 한 번 경기를 한다고 한다. 토너먼트 대회가 끝난후 최종 점수판에서 각 팀의 점수를 봤더니 등차수열을 이루고 각 팀이 그 다음 팀보다 정확히 1점이 더 많았다고 한다. 최저점수를 기록한 팀이 가질 수 있는 최고의 점수를 구하라. 단, 각 경기에서 이긴 팀은 3점을, 비긴 팀은 1점을, 진 팀은 0점을 얻는다고 한다.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)
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2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제
양의 정수 $n$($\ge 2$)에 대하여, $1\le i\lt j\le n$이고, $i$가 $j$의 약수인 모든 정수의 순서쌍 $(i, j)$들의 집합을 $T$라 하자. 음 아닌 실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $ x_n$이 $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$을 만족할 때 다음 식의 최댓값을 $n$에 대한 함수로 나타내어라. \[\sum_{(i,j)\in T} x_i x_j\]
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)
2013 중국 TST2 3번문제
평면 위의 점 $6$개의 집합 $A$에 대해 $n(A)$를 그 점 중 3개 이상을 만나는 반지름 $1$인 원의 수라고 하자. $n(A)$의 최대값을 구하여라.
(2013년 3월 18일, 출처, 4시간 30분)
2013 중국 TST1 4번문제
$1$보다 큰 정수 $n$, $k$에 대해 $a_1,a_2,\ldots,a_n,c_1,c_2,\ldots,c_m$을 다음 두 조건을 만족하는 음아닌 실수라 하자.
(1) $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$이고 $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$.
(2) 모든 정수 $m\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대해 $c_1+c_2+\cdots+c_m\le m^k$.
이때 $c_1a_1^k+c_2a_2^k+\cdots +c_n a_n^k$의 최대값을 구하여라.
(2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)
2003 제16회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제
원주 위에 서로 다른 $n$개의 점이 놓여있다. 이 점들 중 임의의 한 점에서 시작하여 그 점과 그 점으로부터 시계반대방향으로
$m$번째 점을 선분으로 연결하고, 이 $m$번째 점과 이 점으로부터 시계반대방향으로 $m$번째 점을 선분으로 연결하고,… 이러한 과정을 새로운 선분이 생기지 않을 때까지 되풀이하자. 이렇게 그려진 선분들의 교점 중, 원의 내부에 있는 것들의 개수를 $I$라 할때, 다음에 답하여라. 단, $m$, $n$은 서로 소인 양의 정수로서 $6\le 2m\lt n$을 만족한다.
(a) 원주 위에 놓인 서로 다른 $n$개의 점의 위치가 변할때, $I$가 취할 수 있는 최대값을 $m$, $n$의 식으로 나타내어라.
(b) 부등식 $I≥n$이 항상 성립함을 보이고, $m=3$이고 $n$이 위의 조건을 만족시키는 임의의 짝수일 때 $I=n$인 경우가 존재함을 보여라.
(2003년 4월 13일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
1999 제12회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제
다음의 두 조건
(1) $a_1+a_2+\cdots+a_{1999}=2$,
(2) $a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{1998}a_{1999}+a_{1999}a_1=1$
을 만족시키는 1999개의 음이 아닌 실수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{1999}$의 제곱의 총합을 $S$라고 할 때, $S$의 최대값과 최소값을 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)