음아닌 실수 $p_1,p_2,\ldots,p_n$과 $q_1,q_2,\ldots,q_n$이 \[p_1+\cdots+p_n=q_1+\cdots+q_n\]을 만족한다 하자. $i$번째 행의 합이 $p_i$이고 $j$번째 열의 합의 $q_i$이며 각 칸이 음 아닌 실수인 행렬의 주 대각선 칸들의 합이 가질 수 있는 값의 최대값을 구하여라.
(2013년, 출처)
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2012 중국수학올림피아드 4번문제
양수 $a,b$에 대해 $f(x)=(x+a)(x+b)$라 하자. 실수 $x_1,x_2,\ldots,x_n\ge 0$에 대해 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$일 때 $F=\sum_{1\le i<j\le n} \min(f(x_i) , f(x_j))$의 최댓값을 구하여라.
2012 중국 TST2 둘쨋날 2번문제
$1$보다 큰 두 정수 $m$, $n$과 두 양의 실수 $r<s$가 주어져있다. 모두 동시에 $0$은 아닌 실수 $a_{ij}\ge 0$에 대해 다음 식의 최댓값을 구하여라. \[ f=\frac{ \left( \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^m a_{ij}^s \right)^{\frac{r}{s}} \right)^{\frac1r} }{\left( \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}^r\right)^{\frac{s}{r}}\right)^{\frac{1}{s}}}.\]
2012 중국 TST1 첫째날 1번문제
모든 $i=1,2,\ldots,n$에 대해 $|x_i|=|y_i|=1$을 만족하는 복소수 $x_i$, $y_i$가 주어져있다. 이때 $x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$, $y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$라하고 하고, $z_i=xy_i+y x_i-x_iy_i$라 하자. 이때 $\sum_{i=1}^n |z_i|\le n$임을 증명하라.
2012 유럽여학생수학올림피아드 2번문제
양의 정수 $n$이 주어져있다. 다음 조건을 만족하는 최대의 정수 $m$값을 $n$에 관한 식으로 구하여라.
임의의 서로 다른 두 행 $[a_1, a_2, \ldots , a_n]$, $[b_1, b_2, \ldots b_n]$이 \[\max(|a_1 −b_1|,|a_2 −b_2|,\ldots,|a_n −b_n|)=1\]을 만족하게 하는 $m$개의 행과 $n$개의 열을 가진 실수행렬이 존재한다.
2012 아시아태평양수학올림피아드 2번문제
가로, 세로 각각 2012개의 정사각형 칸으로 이루어진 표의 각 칸에 0이상 1이하의 실수들을 하나씩 적어 넣는다. 이 표를 가로선 혹은 세로선(가장자리 가로선, 세로선은 제외)을 따라 두 개의 직사각형 꼴의 표로 나눈다고 할 때, 어떤 방법으로 나누든, 둘 중 적어도 한 쪽의 직사각형 표에 들어 있는 모든 칸에 적힌 실수들의 합이 1이하가 되도록 적어 넣는다고 하자. 바둑판의 모든 칸에 적힌 실수들의 합이 취할 수 있는 최댓값을 구하여라.
(2012년 3월)