다음 명제가 성립할 최소의 양의 정수 $k$를 구하여라. 집합 $S=\{1,2,\ldots,2012\}$의 부분집합 $A$가 원소를 $k$개 가진다면, 어떤 세 원소 $x,y,z\in A$가 있어서 $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$가 되는 서로 다른 세 정수 $a, b, c\in S$가 존재한다.
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2012 중국 TST2 첫째날 1번문제
그래프에서 서로 이웃한 $t$개의 꼭지점을 $t$당이라 부르자. 어떤 꼭지점이 다른 모든 꼭지점과 이웃할 때 그 꼭지점을 중심점이라 부르자. 부등식 $\frac{3}{2}\le \frac{1}{2} n <k<n$을 만족하도록 두 정수 $n$, $k$가 주어져있다. 이때, $(k+1)$당이 없지만, 없던 변을 아무렇게나 추가해도 $(k+1)$당이 반드시 생기는 꼭지점 $n$개를 가진 그래프가 가질 수 있는 최소의 중심점 수는 몇 개인가?
2011 캐나다수학올림피아드 3번문제
정사각형을 유한개의 흰색 또는 빨강색 직사각형으로 나누되, 직사각형의 각 변은 정사각형의 변과 평행하도록 나누었다. 각각의 흰색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 폭을 높이로 나눈 값을 적자. 각각의 빨강색 직사각형 내부에는 그 직사각형의 높이를 폭으로 나눈 값을 적자. 그 후 모든 적힌 숫자들의 합을 $x$라 하자. 만일 전체 흰색 직사각형의 면적의 합이 전체 빨강색 직사각형의 면적의 합과 같다면, $x$의 가능한 값 중 최솟값은 무엇인가?
(2011년 3월 23일)
2009 제23회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제
양의 정수 $n$에 대하여, 구간 $[0,n+1]$에서 함수 \[ f_n(x)=\left(\sum_{i=1}^n \lvert x-i\rvert\right)^2-\sum_{i=1}^n (x-i)^2\]의 최솟값을 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{11}(-1)^{n+1}a_n$의 값을 구하여라.
(2009년 8월 23일 오후, 2시간 30분, 출처)