모든 성분이 실수인 대칭행렬 $A$가 다음 조건을 만족시킬 때, $A$의 어떤 고유치는 $1$보다 크다는 것을 보여라.
(1) $A$의 모든 대각성분은 $0$이다.
(2) $A$의 어떤 성분은 $1$보다 크다.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
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2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 5번문제
다음 조건을 만족하는 모든 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $A^2=I$,
(2) $\operatorname{rank}(A+I)=1$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 1번문제
다음과 같이 주어진 행렬 $A$에 대하여 $A^{2012}$의 모든 성분의 합을 구하여라.
\[A=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 2\\-4 & 3 & 2\\-4 & 1 & 4 \end{pmatrix}.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 6번문제
모든 성분이 정수인 정사각행렬 $A$가 다음 조건을 만족하면 $A=I$임을 보여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) 홀수인 소수 $p$에 대하여 행렬 $A-I$의 모든 성분은 $p$의 배수이다.
(2) $A^k=I$인 양의 정수 $k$가 존재한다.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 4번문제
주어진 정수 $n\ge 2$에 대하여 다음 조건을 만족하는 $n\times n$ 행렬 $A$의 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $\operatorname{rank}(A+I)=1$,
(2) $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^3)$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 2번문제
다음을 만족하는 정사각행렬 $A$, $B$가 존재하지 않음을 보여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
\[ (AB)^{2012}-(BA)^{2012}=I.\]
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)