2017 유럽여학생수학올림피아드 4번문제

양의 정수 $n$과 양의 정수 $t_1<t_2<\cdots<t_n$이 있다고 하자. 총 $t_n+1$명으로 구성된 단체에서 체스 게임을 진행한다. 두 사람은 서로 많아야 한 판의 게임을 할 수 있다. 이때, 아래 두 조건이 동시에 성립하는 것이 가능함을 보여라.

(i) 각 사람이 게임을 한 횟수가 정확히 $t_1$, $t_2$, $\ldots$, $t_n$ 중 하나이다.

(ii) $1\le i\le n$인 모든 정수 $i$에 대해, 정확히 $t_i$번 게임을 한 사람이 있다.

2014 미국수학올림피아드 4번문제

양의 정수 $k$가 주어져있다. 무한히 펼쳐진 평면이 같은 크기의 정육각형 칸으로 가득 채워져있는 게임판 위에서 두 사람 $A$, $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 처음에는 모든 칸이 비워져있다. $A$부터 시작해서 돌아가면서 자기 차례가 되면 $A$는 비어있는 이웃한 두 칸을 골라서 돌을 하나씩 넣을 수 있으며, $B$는 게임판 위의 아무 돌이나 골라 제거할 수 있다. 어느 순간이라도 한 직선 위에 있는 연속한 $k$개의 칸 각각에 돌이 있으면 $A$가 이긴다. 이때, $A$가 유한번 게임에 참여해서는 이길 수 없게 하는 최소의 $k$값을 구하거나, 그러한 $k$ 값이 존재하지 않음을 증명하라.

2010 미국수학올림피아드 6번문제

칠판에 $0$이 아닌 정수의 순서쌍 $68$개가 적혀있다. 임의의 양의 정수 $k$에 대해 칠판에는 $(k,k)$와 $(-k,-k)$ 중 많아야 하나만 적혀있다고 한다. 학생은 칠판에서 $136$개의 정수 중 일부를 지울 수 있는데 지울 수 어느 둘을 더해도 그 합은 $0$이 되면 안 되게 해야 한다. $68$개의 순서쌍 중 적어도 하나의 수가 지워진 순서쌍의 수만큼 학생이 점수를 얻는다. 처음에 칠판에 어떻게 적혀있더라고 학생이 항상 $N$점 이상을 얻을 수 있다고 할 때 가능한 $N$의 최대값을 구하여라.

2008 미국수학올림피아드 5번문제

칠판에 음이 아닌 세 실수 $r_1$, $r_2$, $r_3$가 적혀있다. 이 세 수들끼리는 $a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3=0$이 성립하게 하는 동시에 $0$은 아닌 세 정수 $a_1$, $a_2$, $a_3$이 존재한다는 성질이 만족된다. 칠판에 적힌 수에 대해 다음과 같은 시행을 할 수 있다: 칠판에 적힌 두 수 $x$, $y$를 $x\le y$이게 고른 후 $y$를 칠판에서 지우고 그 자리에 $y-x$를 적는다. 이때 이 시행을 유한번 적당히 반복해서 칠판에 $0$이 적어도 하나 이상 나타나게 할 수 있음을 증명하라.

2004 미국수학올림피아드 4번문제

$6 \times 6$ 격자판에서 경미와 남훈이가 어떤 게임을 한다. 각 선수는 자기 차례가 되면 아직 격자판에 나타나지 않은 유리수를 하나 골라 격자판의 남은 빈칸 중 하나에 그 수를 쓴다. 모든 칸에 수가 채워졌으면 각각의 행에서 가장 큰 수가 쓰여진 칸을 검게 칠한다. 그래서 판의 꼭대기에서 밑바닥까지 검은 칸만을 지나는(꼭지점은 지나도 된다) 곡선을 그릴 수 있으면 경미가 이기고, 그렇지 못하면 남훈이가 이긴다. 누구에게 필승의 전략이 있는지 찾고, 그것을 증명하여라.

2014 캐나다수학올림피아드 5번문제

양의 정수 $n$과 $k\ge 2$가 주어져있다. 칠판의 어느 줄에 $n$개 정수가 적혀있다. 철수가 연속으로 나열된 정수의 묶음을 고를때마다 영희는 거기에 있는 모든 정수에 $1$을 더하거나 뺄 수 있다. 이러한 과정을 철수가 원하는만큼 반복할 수 있다. 이때 영희가 어떻게 하든지간에 철수가 위의 작업을 잘 반복하여 칠판에 적힌 수 중 적어도 $n-k+2$개 이상의 수가 동시에 $k$의 배수가 되도록 할 수 있음을 보여라.