정수 $k>1$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 양의 정수 집합의 부분집합들의 무한 집합 $\mathcal A$을 만들어라.
(a) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k$개의 서로 집합은 정확히 $1$개의 공통원소가 있다.
(b) 집합 $\mathcal A$의 원소인 임의의 $k+1$개의 서로 다른 집합의 교집합은 공집합이다.
(출처)
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2011 미국수학올림피아드 6번문제
$225$개의 원소를 가진 집합 $A$와 그 부분집합 $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$이 주어져있다. 이때 모든 $1\le i \le 11$에 대해 $|A_i|=45$이고 모든 $1\le i<j\le 11$에 대해 $|A_i\cap A_j|=9$라면, $|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{11}|\ge 165$임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.