2015 제28회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제

내심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 점 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 삼각형 $IAB$, $IAC$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하고, 삼각형 $ABC$의 외접원과 직선 $EF$의 두 교점을 $P$, $Q$라 하자. 삼각형 $DPQ$의 외심이 직선 $O_1O_2$ 위에 있음을 보여라.

2013 이란 TST2 6번문제

원 $\omega$에 내접한 삼각형 $ABCD$가 있다. 삼각형 $ACD$와 $ABC$의 내접원의 중심을 각각 $I_1$, $I_2$, 반지름을 $r_1$, $r_2$라 하자. 이때 $r_1=r_2$이라 하자. 변 $AB$와 $AD$와 접하며 원 $\omega$와 접하는 원이 원 $\omega$와 만나는 점을 $T$라 하자. 원 $\omega$의 점 $A$에서의 접선과 점 $T$에서의 접선이 만나는 점을 $K$라 하자. 이때 $I_1$, $I_2$, $K$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2013년, 출처)

2013 제5회 베네룩스수학올림피아드 3번문제

원 $\Gamma$에 내접한 삼각형 $ABC$가 있고 $I$를 삼각형 $ABC$의 내접원의 중심이라 하자. 직선 $AI$, $BI$, $CI$가 원 $\Gamma$와 각각 $D(\neq A)$, $E(\neq B)$, $F(\neq C)$에서 만난다고 하자. 원 $\Gamma$의 점 $F$, $D$, $E$에서의 접선들이 각각 직선 $AI$, $BI$, $CI$와 만나는 점을 각각 $R$, $S$, $T$라 하자. 이때 \[ AR \cdot BS \cdot CT = ID \cdot IE\cdot IF\]임을 보여라.
(2013년 4월 27일, 4시간 30분, 네덜란드 도르드레흐트, 출처)

2013 베트남 수학올림피아드 3번문제

이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$가 있다. 중심이 $I$인 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 점 $E$를 지나며 직선 $BI$와 수직으로 만나는 직선이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 $K$라 하자. 점 $F$를 지나며 직선 $CI$와 수직으로 만나는 직선이 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 $L$이라 하자. 선분 $KL$의 중점을 $J$라 하자.
(1) 점 $D$, $I$, $J$는 한 직선 위에 있음을 보여라.
(2) 점 $B$와 $C$를 고정하고 점 $A$를 $\frac{AB}{AC}$가 일정한 값 $k$가 되게 움직인다고 하자. 선분 $IE$와 $IF$가 삼각형 $ABC$의 내접원과 만나는 점을 각각 $M$, $N$ ($M\neq E$, $N\neq F$)이라 하자. 직선 $MN$이 직선 $IB$, 직선 $IC$와 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하자. 이때 선분 $PQ$의 수직이등분선은 항상 일정한 점을 지나는 것을 증명하라.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)

2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 6번문제

삼각형 $ABC$의 내접원 $O$가 변 $BC$, $CA$와 각각 $D$, $E$에서 접한다. 점 $B$를 지나고 직선 $DE$와 평행한 직선이 원 $O$와 두 점에서 만난다고 하자. 이 두 점 중 $B$와 가까운 점을 $F$, 다른 점을 $G$, 직선 $CG$와 원 $O$의 교점을 $H$ ($\ne G$)라 하자. 점 $G$를 지나고 직선 $EH$와 평행한 직선과 직선 $AC$의 교점을 $I$라 할 때, 직선 $IF$와 원 $O$가 서로 다른 두 점 $J$, $F$에서 만난다고 하자. 직선 $CJ$와 직선 $EG$의 교점을 $K$, 점 $K$를 지나고 직선 $JD$와 평행한 직선을 $\ell$이라 할 때, 세 직선 $\ell$, $IF$, $ED$는 한 점에서 만남을 보여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)