$ABC$와 $A’B’C’$은 한 평면 위의 두 삼각형으로, 세 직선 $AA’$, $BB’$, $CC’$은 모두 평행하다. $[ABC]$는 삼각형 $ABC$의 면적에 적당히 $\pm$의 부호를 붙인 것이라고 하자. 다음을 증명하여라.\[ 3([ABC] + [A’B’C’]) = [AB’C’] + [BC’A’] + [CA’B’] + [A’BC] + [B’CA] + [C’AB]\]
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1992 아일랜드 수학올림피아드 9번문제
어떤 볼록오각형의 각각의 대각선이 이 오각형을 한 사각형과 단위 넓이의 한 삼각형으로 나눈다.
이 오각형의 넓이를 구하여라.
2013 아시아태평양수학올림피아드 1번문제
예각삼각형 $ABC$의 점 $A$, $B$, $C$에서 내린 수선의 발을 $D$, $E$, $F$라 하고 외심을 $O$라 하자. 이때 선분 $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$는 삼각형 $ABC$를 넓이가 같은 삼각형 3쌍으로 쪼갠다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 12일, 4시간, 출처)
2013 루마니아 수학 마스터 4번문제
평면 위에 두 볼록사각형 모양인 두 영역 $P$와 $P’$가 있다. (영역은 경계를 포함한다.) 이 두 영역이 한 점 $O$에서 만난다. 점 $O$를 지나는 임의의 직선 $\ell$에 대해 선분 $\ell\cap P$의 길이가 항상 $\ell\cap P’$보다 크다고 한다. 이때, $P’$의 넓이가 $P$의 넓이의 1.9배보다 클 수 있는가?
(2013년 3월 2일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)
2013 인도수학올림피아드 5번문제
직각삼각형 $ABC$의 내심을 $O$, 무게중심을 $G$, 수심을 $H$라 하자. 변 $BC$, 변 $CA$위에 각각 점 $D$, $E$를 잡되 $OD$와 $BC$가 수직으로 만나고 $HE$와 $CA$가 수직으로 만나게 하였다고 한다. 변 $AB$의 중점을 $F$라 하자. 삼각형 $ODC$, $HEA$, $GFB$의 넓이가 모두 같다면, 가능한 $\angle C$의 값을 모두 구하여라.
(2013년 2월 3일, 출처)
2013 필리핀수학올림피아드 2번문제
삼각형 $ABC$ 안에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 만일 삼각형 $APF$, 삼각형 $BPD$, 삼각형 $CPE$의 넓이가 모두 같다면 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심임을 증명하라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)