한 직선 위에 세 점 $A$, $B$, $C$가 이 순서대로 놓여있다. 세 정삼각형 $ABD$, $BCE$, $CAF$를 그리는데, 직선 $AC$에 대해 $D$와 $E$는 같은 쪽에 있고 $F$는 반대쪽에 있도록 한다. 이 정삼각형들의 무게중심을 세 꼭지점으로 하는 삼각형은 정삼각형임을 증명하여라. 또, 이 새로운 정삼각형의 무게중심은 직선 $AC$ 위에 놓임을 증명하여라.

각$C$가 직각인 직각삼각형 $ABC$의 무게중심을 $G$라 하자. 반직선 $AG$ 위의 점 $P$가 $\angle CPA=\angle CAB$가 되게 하고, 반직선 $BG$ 위의 점 $Q$가 $\angle CQB=\angle ABC$가 되게 하자. 이때 삼각형 $AQG$의 외접원과 삼각형 $BPG$의 외접원이 변 $AB$ 위의 점에서 만남을 보여라.
(2013년 3월 27일, 출처)

직각삼각형 $ABC$의 내심을 $O$, 무게중심을 $G$, 수심을 $H$라 하자. 변 $BC$, 변 $CA$위에 각각 점 $D$, $E$를 잡되 $OD$와 $BC$가 수직으로 만나고 $HE$와 $CA$가 수직으로 만나게 하였다고 한다. 변 $AB$의 중점을 $F$라 하자. 삼각형 $ODC$, $HEA$, $GFB$의 넓이가 모두 같다면, 가능한 $\angle C$의 값을 모두 구하여라.
(2013년 2월 3일, 출처)

삼각형 $ABC$ 안에 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 각각 변 $BC$, $CA$, $AB$와 만나는 점을 $D$, $E$, $F$라 하자. 만일 삼각형 $APF$, 삼각형 $BPD$, 삼각형 $CPE$의 넓이가 모두 같다면 $P$는 삼각형 $ABC$의 무게중심임을 증명하라.
(2013년 1월 16일, 4시간, 출처)