$3$보다 큰 소수를 약수로 갖지 않는 양의 정수의 집합을 $M$이라 하자. 집합 $M$의 임의의 부분집합들 $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 양의 정수 $i$와 $j$가 반드시 존재함을 증명하여라.

집합 $A_i$의 각 원소 $x$에 대해 집합 $A_j$는 $x$의 어떤 약수를 갖는다.

(2012년 3월 25일 오전, 4시간 30분)