예각삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 삼각형 $ABH$와 삼각형 $ACH$의 변 $AH$에 접하는 방접원의 중심을 각각 $J$와 $I$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원과 변 $BC$가 만나는 점을 $P$라 할 때, 네 점 $I$, $J$, $P$, $H$가 한 원 위에 있음을 증명하라.
(2013년, 출처)
태그 보관물: 방심
2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
삼각형 $ABC$의 꼭지점 $B$, $C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $B_1C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D$($\neq A$)에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H$($\neq D$)라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I$($\neq H$)라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)
2012 국제수학올림피아드 1번문제
삼각형 $ABC$에 대하여 꼭지점 $A$의 맞은 편에 위치한 방접원의 중심(방심)을 $J$라 하자. 이 방접원이 변 $BC$에 점 $M$에서 접하고, 두 직선 $AB$, $AC$에 각각 점 $K$, $L$에서 접한다. 두 직선 $LM$과 $BJ$의 교점을 $F$, 두 직선 $KM$과 $CJ$의 교점을 $G$라 하자. 두 직선 $AF$와 $BC$의 교점을 $S$, 두 직선 $AG$와 $BC$의 교점을 $T$라 할 때, $M$이 선분 $ST$의 중점임을 보여라.
(2012년 7월 10일 아르헨티나 Mar Del Plata)
2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 4번문제
삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선 $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.
1994 제7회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제
삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 외접원의 반지름을 $R$ 라 하고, 세 개의 방심을 $A’, B’, C’$이라 한다. 삼각형 $A’B’C’$의 외심을 $O’$, 외접원의 반지름을 $R’$이라 할 때 다음을 증명하여라.
(i) $ \quad R’=2R$
(ii) $\overline{IO’}= 2 \overline{IO}$
(1994년 4월 16일)