2013 국제수학올림피아드 3번문제

삼각형 $ABC$에서 꼭지점 $A$의 맞은 편에 놓인 방접원이 변 $BC$에 접하는 점을 $A_1$이라 하자. 이와 비슷하게 꼭지점 $B$와 $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들을 이용하여, 변 $CA$ 위의 점 $B_1$과 변 $AB$위의 점 $C_1$을 정의하자. 삼각형 $A_1B_1C_1$의 외심이 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 놓여있다고 가정하자. 이때, 삼각형 $ABC$가 직각삼각형임을 증명하여라.
(여기서 꼭지점 $A$의 맞은편에 놓인 방접원이란 변 $BC$, 반직선 $AB$의 $B$를 지난 부분, 반직선 $AC$의 $C$를 지난 부분에 동시에 접하는 원을 뜻한다. 꼭지점 $B$, $C$의 맞은 편에 놓인 방접원들도 비슷하게 정의한다.)
(2013년 7월 23일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)

2013 발칸수학올림피아드 1번문제

삼각형 $ABC$의 점 $A$의 맞은 편에 있는 방접원 $\omega_a$가 직선 $AB$와 점 $P$에서 만나고 직선 $AC$와 점 $Q$에서 만나며, 점 $B$의 맞은 편에 있는 방접원 $\omega_b$는 직선 $BA$와 점 $M$에서 만나고 직선 $BC$와 점 $N$에서 만난다. 점 $C$를 직선 $MN$에 내린 수선의 발을 $K$라 하고 점 $C$를 직선 $PQ$에 내린 수선의 발을 $L$이라 하자.
이때 사각형 $MKLP$는 원에 내접함을 증명하라.
(6월 30일, 4시간 30분, 출처, 출제:불가리아)

2012 국제수학올림피아드 1번문제

삼각형 $ABC$에 대하여 꼭지점 $A$의 맞은 편에 위치한 방접원의 중심(방심)을 $J$라 하자. 이 방접원이 변 $BC$에 점 $M$에서 접하고, 두 직선 $AB$, $AC$에 각각 점 $K$, $L$에서 접한다. 두 직선 $LM$과 $BJ$의 교점을  $F$, 두 직선 $KM$과 $CJ$의 교점을  $G$라 하자. 두 직선 $AF$와 $BC$의 교점을 $S$, 두 직선 $AG$와 $BC$의 교점을 $T$라 할 때, $M$이 선분 $ST$의 중점임을 보여라.

(2012년 7월 10일 아르헨티나 Mar Del Plata)

2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 4번문제

삼각형 $ABC$의 방접원 중 변 $BC$와 점 $M$에서 만나는 방점원의 중심을 $O$라 하자. 변 $AB$와 변 $AC$위에 각각 점 $D$, $E$를 잘 잡아서 $DE$가 $BC$에 평행하게 하자. 삼각형 $ADE$의 내접원의 중심을 $O_1$, 이 내접원이 $DE$에 만나는 점을 $N$이라 하자. 그리고 직선 $BO_1$과 직선 $DO$가 만나는 점을 $F$, 직선 $CO_1$과 직선  $EO$가 만나는 점을 $G$라 하자. 이때 $FG$의 중점은 직선 $MN$ 위에 있음을 증명하라.

2012 중국 TST1 둘째날 1번문제

평면 위의 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$에 대해 $S$를 외접원이 $\omega_1$이고 변$BC$와 만나는 방접원이 $\omega_2$인 삼각형 $ABC$ 전체의 집합이라고 하자. 이때 $S$에 속한 각 삼각형 $ABC$에 대해 점 $D$, $E$, $F$를 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$가 $\omega_2$와 만나는 점이라 할 때, $S$가 공집합이 아니면 삼각형 $DEF$의 무게중심이 고정되어 있음을 증명하라.