세 양의 실수 $a$, $b$, $c$의 합이 $4\sqrt[3]{abc}$과 같을 때 \[2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2\]임을 보여라.
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2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 2번문제
실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$이면 \[ a^2b^2cd+ab^2c^2d+abc^2d^2+a^2bcd^2+a^2bc^2d+ab^2cd^2\le \frac{3}{32}\]이 성립함을 보이고 등호가 성립할 조건을 구하여라.
2008 아일랜드 수학올림피아드 오후 5번문제
양의 실수 $x$, $y$, $z$가 $xyz\ge 1$을 만족시킨다고 한다.
(a) $27\le (1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2$을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.
(b) $(1+x+y)^2+(1+y+z)^2+(1+z+x)^2\le 3(x+y+z)^2$임을 증명하고 등호가 성립할 필요충분조건은 $x=y=z=1$임을 보여라.
2000 아시아태평양수학올림피아드 4번문제
$n>k$인 자연수 $n$, $k$에 대하여 다음 부등식을 증명하여라. \[ \frac{1}{n+1}\cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} < \frac{n!}{k! (n-k)!} < \frac{n^n }{ k^k (n-k)^{n-k}}\]
2004 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
모든 실수 $a,b,c>0$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. \[ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 9(ab+bc+ca)\]
2017 캐나다수학올림피아드 1번문제
서로 다른 음 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 다음 부등식을 증명하라. \[ \frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}>2\]