2013 중국 TST1 1번문제

그림과 같이 사각형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접한다고 하고, $AC$, $BD$는 점 $F$에서 만나고, 직선 $BA$와 직선 $CD$가 점 $E$에서 만난다. 점 $F$에서 $AB$, $CD$ 위에 내린 수선의 발을 각각 $G$, $H$라 하고, 점 $M$, $N$은 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점이라 하자. 삼각형 $MNG$의 외접원과 선분 $BF$의 유일한 교점을 $P$, 삼각형 $MNH$의 외접원과 선분 $CF$의 유일한 교점을 $Q$라 할때, 직선 $PQ$가 직선 $BC$와 평행함을 보여라.
2013chinatst1
(2013년 3월 13일, 출처, 4시간 30분)

2012 Baltic Way 팀수학경시대회 15번문제

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 외접원의 중심 $O$가 사각형 $ABCD$ 내부에 있지만 대각선 $AC$ 위에는 없다고 한다. 이 사각형의 두 대각선이 만나는 점을 $I$라 하자. 삼각형 $AOI$의 외접원이 변 $AD$와 $AB$를 각각 점 $P$, $Q$에서 만난다고 하자. 삼각형 $COI$의 외접원이 변 $CB$와 $CD$를 각각 점 $R$, $S$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $PQRS$는 평행사변형임을 증명하라.

2012 제26회 한국수학올림피아드 중등부 5번문제

원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$ ($\overline{AB}>\overline{AD}$)의 변 $AB$ 위에 $\overline AE=\overline AD$가 되도록 점 $E$를 택하고, 직선 $AC$와 $DE$의 교점을 $F$, 직선 $DE$와 원 $O$의 교점을 $K$($\ne D$)라 하자. 점 $C$, $F$, $E$를 지나는 원의 점 $E$에서의 접선과 직선 $AK$가 점 $L$에서 만난다고 할 때, $\overline{AL}=\overline{AD}$일 필요충분조건이 $\angle KCE=\angle ALE$임을 보여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)

2011 중국여자수학올림피아드 첫째날 2번문제

사각형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 $E$라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 수직이등분선의 교점을 $F$라 하자. 그리고 직선 $EF$가 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $AD$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 만일 $MF \cdot CD=NF\cdot AB$이고 $DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$라면 직선 $PQ$와 직선 $BC$가 수직으로 만난다는 것을 증명하라.

2011 캐나다수학올림피아드 2번문제

맞은 편 변끼리 서로 평행하지 않는 사각형 $ABCD$가 있다고 하자. 직선 $AB$와 직선 $CD$의 교점을 $X$, 직선 $AD$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하자. 각 $AXD$의 각이등분선이 변 $AD$와 변 $BC$에서 각각 점 $E$와 점 $F$에서 만난다고 하자. 각 $AYB$의 각이등분선은 변 $AB$와 변 $CD$에서 각각 점 $G$와 점 $H$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $EGFH$는 평행사변형임을 증명하라.

(2011년 3월 23일)

2011 미국수학올림피아드 5번문제

사각형 $ABCD$ 내부에 점 $P$가 주어져있다고 하자. 사각형 $ABCD$ 내부에 점 $Q_1$과 $Q_2$를 $\angle Q_1 BC = \angle ABP$, $\angle Q_1 CB = \angle DCP$, $\angle Q_2 AD = \angle BAP$, $\angle Q_2 DA = \angle CDP$를 만족하도록 잡자. 이때 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{AB}$와 평행할 필요충분조건이 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{CD}$와 평행함임을 증명하여라.