이등변삼각형은 아닌 삼각형 $ABC$가 있어, 그 외접원을 $\Gamma$, 내심을 $I$라 하자. 또한, 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $AB,AC$와 접하는 점을 각각 $D,E$라 하자. 삼각형 $BEI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $B$가 아닌 점을 $P$, 삼각형 $CDI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $C$가 아닌 점을 $Q$라 할 때, 네 점 $D,E,P,Q$가 한 원 위에 있음을 보여라.
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2014 일본수학올림피아드 본선 1번문제
삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $BC$의 중점을 지나고 $\angle BAC$의 이등분선에 수직한 직선을 $l$이라 하자. $l$이 선분 $AO$의 중점을 지날 때, $\angle BAC$의 크기를 구하여라.
2014 일본수학올림피아드 본선 4번문제
삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하고, 점 $A$에서의 $\Gamma$의 접선을 $l$이라 하자. $D,E$는 각각 변 $AB,AC$ 위의 $A,B,C$가 아닌 점들로, $BD:DA=AE:EC$를 만족시킨다고 한다. 직선 $DE$와 원 $\Gamma$의 두 교점을 $F,G$라 하고, 점 $D$를 지나고 $AC$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $H$, 점 $E$를 지나고 $AB$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $I$라 하자. 이 때, 4개의 점 $F,G,H,I$는 같은 원 위에 있으며, 그 원은 직선 $BC$에 접함을 보여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.
2011 루마니아 수학 마스터 3번문제
삼각형 $ABC$는 원 $\omega$에 내접하고 있다. 변 $BC$와 평행하게 움직이는 직선 $l$이 선분 $AB,AC$와 각각 $D,E$에서 만나고, $\omega$와는 $K,L$에서 만나며 $D$가 $K,E$ 사이에 놓인다고 한다. 원 $\gamma_1$은 선분 $KD,BD$와 $\omega$에 접하며, $\gamma_2$는 선분 $LE,CE$와 $\omega$에 접한다. $l$이 움직일 때 $\gamma_1,\gamma_2$의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.
1993 제6회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
$x$, $y$, $z$는 자연수이고, 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 $x$, $y$이고 빗변의 길이가 $z$인 직각삼각형의 넓이가 피타고라스 수라 한다. $n\gt 12$인 모든 $n$과 $2n$ 사이에는 적어도 하나의 피타고라스 수가 존재함을 밝혀라.
2013 이란 TST2 5번문제
삼각형의 세 변의 길이 $a$, $b$, $c$ (단 $a\ge b\ge c$)에 대해 다음 부등식을 증명하라.\[ \sqrt{ a(a+b-\sqrt{ab}) } + \sqrt{ b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{ c(b+c-\sqrt{bc})}\ge a+b+c.\]
(2013년, 출처)