2015 일본수학올림피아드 본선 4번문제

이등변삼각형은 아닌 삼각형 $ABC$가 있어, 그 외접원을 $\Gamma$, 내심을 $I$라 하자. 또한, 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $AB,AC$와 접하는 점을 각각 $D,E$라 하자. 삼각형 $BEI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $B$가 아닌 점을 $P$, 삼각형 $CDI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $C$가 아닌 점을 $Q$라 할 때, 네 점 $D,E,P,Q$가 한 원 위에 있음을 보여라.

2014 일본수학올림피아드 본선 4번문제

삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하고, 점 $A$에서의 $\Gamma$의 접선을 $l$이라 하자. $D,E$는 각각 변 $AB,AC$ 위의 $A,B,C$가 아닌 점들로, $BD:DA=AE:EC$를 만족시킨다고 한다. 직선 $DE$와 원 $\Gamma$의 두 교점을 $F,G$라 하고, 점 $D$를 지나고 $AC$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $H$, 점 $E$를 지나고 $AB$와 평행한 직선과 $l$의 교점을 $I$라 하자. 이 때, 4개의 점 $F,G,H,I$는 같은 원 위에 있으며, 그 원은 직선 $BC$에 접함을 보여라. 단, $XY$는 선분 $XY$의 길이를 뜻한다.

2011 루마니아 수학 마스터 3번문제

삼각형 $ABC$는 원 $\omega$에 내접하고 있다. 변 $BC$와 평행하게 움직이는 직선 $l$이 선분 $AB,AC$와 각각 $D,E$에서 만나고, $\omega$와는 $K,L$에서 만나며 $D$가 $K,E$ 사이에 놓인다고 한다. 원 $\gamma_1$은 선분 $KD,BD$와 $\omega$에 접하며, $\gamma_2$는 선분 $LE,CE$와 $\omega$에 접한다. $l$이 움직일 때 $\gamma_1,\gamma_2$의 공통내접선의 교점의 자취를 구하여라.