$N$을 양의 정수라 하자. 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_N$이 주어져 있어, 어떤 것도 $2^{N+1}$의 배수가 아니라고 한다. $N+1$ 이상의 정수 $n$에 대해, 다음과 같은 규칙으로 $a_n$을 정한다고 한다:
– $k=1,2,\ldots,n-1$ 중에서 $a_k$를 $2^n$으로 나눴을 때의 나머지가 가장 작은 $k$를 선택해 $a_n=2a_k$로 잡는다. 단, 그런 $k$가 여러 개 있을 경우에는 그 중 가장 큰 $k$를 택한다.
이 때, $n \geq M$이면 항상 $a_n=a_M$이 성립하는 양의 정수 $M$이 존재함을 보여라.
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2015 제28회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
주어진 양의 정수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$이 있다.\begin{align*}a_1&=k, & a_2&=k, & a_{n+2}&= a_n a_{n+1} \quad(n\ge 1)\\b_1&=1,& b_2&=k, & b_{n+2}&=\frac{b_{n+1}^3+1}{b_n} \quad (n\ge 1)\end{align*}모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_{2n}b_{n+3}$은 정수임을 보여라.
2015 일본수학올림피아드 본선 3번문제
양의 정수 수열 $\{a_n\}$ ($n=1,2,\cdots$)에 대해, 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $a_n < a_{n+1}$이 성립하며 $a_{2n}=2a_n$이 성립할 때 이 수열을 상승수열이라 하자. (1) 수열 $\{a_n\}$이 상승수열이라 하자. $p$가 $a_1$보다 큰 소수일 때, 이 수열에는 $p$의 배수가 등장함을 보여라. (2) $p$를 홀수인 소수라 하자. 상승수열이며, 모든 $p$의 배수가 등장하지 않는 수열 $\{a_n\}$이 존재함을 보여라.
1988 국제수학올림피아드 3번문제
자연수들의 집합 위에서 정의되는 함수 $f$가 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 만족한다. \begin{align*} f(1) &= 1, ~~~~~ f(3)=3, ~~~~~ f(2n)=f(n), \\ f(4n+1) &= 2f(2n+1)-f(n) \\ f(4n+3) &= 3f(2n+1)-2f(n) \end{align*} $f(n)=n$ 을 만족하고 1988보다 작거나 같은 자연수 $n$의 개수를 구하여라.
1982 국제수학올림피아드 1번문제
함수 $f(n)$ 은 모든 자연수 $n$에 대해 정의되고 음이 아닌 정수값을 갖는다. 또한 모든 $m$, $n$에 대해 \[ f(m+n) – f(m) – f(n) = 0 \text{ 또는 } 1 \]이고 $f(2)=0$, $f(3)>0$, $f(9999)=3333$ 이다. $f(1982)$를 구하여라.
1981 국제수학올림피아드 6번문제
모든 음이 아닌 정수 $x$, $y$에 대해 함수 $f(x,y)$가 다음을 만족한다.
(1) $f(0,y) = y+1$
(2) $f(x+1,0) = f(x,1)$
(3) $f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))$
$f(4,1981)$을 구하여라.