2012 이란 TST 시험2 둘째날 2번문제

중심이 $O$인 원$\omega$ 위에 $\frac\pi3<\angle AOB<\frac{2\pi}{3}$이 되게 두 점 $A$, $B$를 잡자. 삼각형 $AOB$의 외심을  $C$라 하자. 점 $C$를 지나는 직선 중에 $OC$ 사이에 각이 $\frac\pi3$이 되게 직선 $\ell$을 잡자. 직선 $\ell$이 원 $\omega$의 점$A$, 점$B$의 접선들과 각각 $M$, $N$에서 만난다고 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 원 $\omega$와 다시 만나는 아닌 점을 각각 $Q$, $R$이라 하자.  삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 서로 만나는 $C$ 아닌 점을 $P$라 하자. 이때 직선  $OP$와 직선 $QR$이 서로 수직으로 만난다는 것을 보여라.

2011 중국여자수학올림피아드 첫째날 2번문제

사각형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 $E$라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하자. 변 $AB$와 변 $CD$의 수직이등분선의 교점을 $F$라 하자. 그리고 직선 $EF$가 직선 $BC$와 만나는 점을 $P$, 직선 $AD$와 만나는 점을 $Q$라 하자. 만일 $MF \cdot CD=NF\cdot AB$이고 $DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$라면 직선 $PQ$와 직선 $BC$가 수직으로 만난다는 것을 증명하라.

2012 유럽여학생수학올림피아드 1번문제

외심이 $O$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 변 $BC$, $CA$, $AB$ 위에 각각 점 $D$, $E$, $F$를 $DE$와 $CO$가 수직으로 만나고 $DF$가 $BO$가 수직으로 만나게 잡는다. 삼각형 $AFE$의 외심을 $K$라 할 때, 직선 $DK$와 $BC$가 수직으로 만남을 증명하여라.
(2012년 4월 12일. 첫째날. 4시간30분동안 4문제)