1998 제11회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

자연수 $n$에 대하여 다음의 두 조건을 만족시키는 전단사(일대일 대응) 함수 $f:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ 전체의 집합을 $F_n$이라고 하자.
(1) $f(k)\le k+1$ ($k=1,2,\ldots,n-1$),
(2) $f(k)\neq k$ ($k=2,\ldots,n$).
$F_n$의 원소 $f$를 임의로 뽑을 때 $f(1)\neq 1$일 확률을 구하여라.

2013 제26회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

임의의 일대일대응 $f :\{1, 2, \ldots, n\}\to\{1, 2,\ldots, n\}$ ($n$은 양의 정수)에 대하여, 네 집합 $A$, $B$, $C$, $D$를 다음과 같이 정의하자. \[ A=\{i \mid i \gt f(i)\}\]\[ B=\{(i,j)\mid i\lt j \le f(j)\lt f(i)\text{ 또는 } f(j)\lt f(i) \lt i\lt j\}\]\[ C=\{(i,j)\mid i\lt j \le f(i)\lt f(j)\text{ 또는 } f(i)\lt f(j) \lt i\lt j\}\]\[ D=\{ (i,j)\mid i\lt j \text{이고 } f(i)\gt f(j)\}\] 다음 등식이 성립함을 보여라. (단, $|X|$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)\[ |A|+2|B|+|C|=|D|\]
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)

1999 제12회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제

$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$의 순열 중에서 서로 다른 두 항씩 자리를 바꾸는 조작을 $4$회 시행하여 $123456$을 복원할 수 있으며 $3$회 이하의 시행으로는 복원이 불가능한 순열 $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$을 생각하자. 이러한 순열의 개수를 구하여라.
(1999년 4월 18일, 출처4시간 30분)