$n$을 양의 정수라 하자. JMO 왕국에 $2^n$명의 국민과 1명의 왕이 있다. 또한, JMO 왕국에는 화폐로 $2^n$엔 지폐와 $2^a$엔 동전 ($a=0,1,2,\ldots,n-1$)이 쓰인다고 한다. 모든 국민은 지폐를 얼마든지 가지고 있고, 국민들이 가지고 있는 동전은 총 $S$개였다고 한다. 어느 날 이후로 JMO왕국은 다음과 같은 징세라 불리우는 조작을 매일 시행하기로 했다고 한다:
– 모든 국민은 매일 아침 자신이 가지고 있는 화폐 중 유한 개를 택해, 그 날 밤에 각각의 화폐를 다른 국민이나 왕에게 건넨다.
– 이 때, 모든 국민들은 각각 자신이 준 금액이 받은 금액보다 정확히 1엔 많도록 한다.
JMO 왕국은 영원히 징세를 계속해서 시행할 수 있었다고 한다. 이 때 $S$의 값으로 가능한 값 중 최솟값을 구하여라.

$55 \times 55$의 체스판에 대해, 다음 시행을 생각한다: 몇 개의 칸으로 이루어진 직사각형의 영역을 하나 택하여, 그 영역을 흰색 혹은 검은색으로 칠한다. 모든 칸이 하얗게 칠해져있는 상태에서, 다음 3가지 조건을 만족하는 상태로 바꾸기 위해 필요한 시행의 횟수의 최솟값을 구하여라.
(1) 가장 좌상단에 있는 칸은 검은 색으로 칠해져있다.
(2) 검은색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 흰색으로 칠해져있다.
(3) 흰색으로 칠해진 칸과 변을 공유하는 칸은 모두 검은색으로 칠해져있다.