다음 조건을 만족하는 연속함수 $f:[0,\infty)\to (0,\infty)$를 모두 구하여라. \[\text{모든 실수 $x,y\ge 0$에 대하여, } f(x)f(y)=\max \{ f(t) : \lvert x-y\rvert \le t \le x+y\} . \]
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2014 제33회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 8번문제
연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb R$는 임의의 $t\in[0,1]$와 $x,y\in [a,b]$에 대하여 \[ f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)\]를 만족한다 (단, $a\lt b$). 다음 부등식을 증명하여라. \[ f\left( \frac{a+b}{2}\right)\le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le \frac{f(a)+f(b)}{2}.\]
2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4
폐구간 $[0,1]$에서 정의된 연속인 실함수 $f$에 대해 \[ \mu(f)=\int_0^1 f(x)\, dx, \operatorname{Var}(f)=\int_0^1 \left(f(x)-\mu(f)\right)^2\, dx, M(f)=\max_{0\le x\le 1} \lvert f(x)\rvert\]로 정의하자. 이때 폐구간 $[0,1]$에서 정의된 두 연속인 실함수 $f$, $g$에 대해 \[ \operatorname{Var}(fg)\le 2\operatorname{Var}(f) M(g)^2+2\operatorname{Var}(g) M(f)^2\]임을 증명하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 7번문제
함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 additve라 함은 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 $f(x+y)=f(x)+y(y)$임을 뜻한다. 어떤 additive인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$에 대해 $(0,1)$의 공집합 아닌 어떤 부분구간에서 함수 $x\mapsto f(x) f(\sqrt{1-x^2})$가 유계라면, $f$는 연속함수임을 증명하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 8번문제
연속이고 단조증가인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 \[ f^{-1} \left(\frac{f(x)+f(y)}{2}\right)(f(x)+f(y))=(x+y) f\left(\frac{x+y}{2}\right)\]인 함수가 있다고 한다. 이때 모든 $x\in \mathbb R$에 대해 $f(x)=ax+b$가 성립할 실수 상수 $a\neq 0$, $b$가 존재함을 증명하라.
1993 제6회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
자연수 $n$이 주어져 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$를 구하여라. \[ \binom{n}{0}f(x)+\binom{n}{1}f(x^2)+\binom{n}{2}f(x^{2^2})+\cdots+\binom{n}{n-1}f(x^{2^{n-1}})+\binom{n}{n} f(x^{2^n})=0.\]