원에 내접한 사각형$ABCD$의 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만난다고 하자. 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$의 중점을 각각 $P$, $Q$, $R$, $S$라 하자. 이때 삼각형 $EPS$와 삼각형 $EQR$의 외접원의 반지름이 같음을 증명하여라.

(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)

양의 정수의 집합 위에서 정의된 함수 $f$가 $f(1)=1$을 만족하고 모든 $n>1$에 대하여 \[ f(n)=f\left( \left\lfloor \frac{2n-1}{3} \right\rfloor  \right) + f\left( \left\lfloor \frac{2n}{3} \right\rfloor \right) \]을 만족한다고 하자. ($\lfloor x\rfloor$란 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것을 뜻한다. )
모든 $n>1$에 대해 $f(n)-f(n-1)\le n$인가?
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)

실수 전체의 집합을 서로 겹치지 않게 두 부분집합으로 나누었다고 하자. 이때 임의의 양의 정수 $m$, $n$에 대해 한 부분집합에 속한 실수 $x<y<z$가 있어서 $m(z-y)=n(y-x)$이 되게 할 수 있음을 증명하라.

(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)

다음을 만족시키는 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하라: 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대해 $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 $1\le n\le k$에 대해 $m$의 배수라 할때, $a^n+b^n+c^n-d^n-e^n-f^n$이 모든 양의 정수 $n$에 대해 $m$의 배수임을 증명하라.

(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)