원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$ ($\overline{AB}>\overline{AD}$)의 변 $AB$ 위에 $\overline AE=\overline AD$가 되도록 점 $E$를 택하고, 직선 $AC$와 $DE$의 교점을 $F$, 직선 $DE$와 원 $O$의 교점을 $K$($\ne D$)라 하자. 점 $C$, $F$, $E$를 지나는 원의 점 $E$에서의 접선과 직선 $AK$가 점 $L$에서 만난다고 할 때, $\overline{AL}=\overline{AD}$일 필요충분조건이 $\angle KCE=\angle ALE$임을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$가 $\angle A=90^\circ$, $\overline{AB}=\overline{CD}$를 만족한다. 변 $AE$ 위의 점 $F$($\ne A, E$)에 대하 여 직선 $BF$가 원 $O$와 만나는 점을 $J$($\ne B$), 직선 $CE$와 직선 $DJ$가 만나는 점을 $K$, 직선 $BD$와 직선 $FK$가 만나는 점을 $L$이라 하자. 네 점 $B$, $L$, $E$ $F$가 한 원 위에 있음을 보여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
반지름의 길이가 같은 두 원 $O$, $O′$이 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서만 만난다고 하자.원 $O$위의 점 $P(\neq A,B)$, 원 $O′$ 위의 점 $Q(\neq A,B)$에 대하여 $R(\neq B)$을 $PAQR$이 평행사변형이 되도록 택하자. 네 점 $B$, $R$, $P$, $Q$가 한 원 위에 있으면 $P Q = OO′$임을 보여라.
(2011년 8월 21일)