2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A5

정수를 소수 $p$로 나눈 나머지들의 집합으로 만들어진 체를 $\mathbb{R}_p$라 하자. 양의 정수 $n$과 $\mathbb{F}_p^n$에 속한 벡터 $v$가 있다고 하자. 체 $\mathbb{R}_p$의 원소로 만들어진 $n\times n$ 행렬 $M$에 대해 함수 $G:\mathbb{F}_p^n\to\mathbb{F}_p^n$을 $G(x)=v+Mx$로 정의하자. $G$를 $k$번 합성해서 얻은 함수를 $G^{(k)}$라 하자. 즉, $G^{(1)}(x)=G(x)$이고 $G^{(k+1)}(x)=G(G^k(x))$이다. $k=1,2,\ldots,p^n$에 대해 얻어지는 벡터 $G^{(k)}(0)$, 총 $p^n$개가 모두 서로 다르게 할 $p$와 $n$ 모든 쌍을 구하시오.
(2012년 12월 1일)