$0 \leq r \leq n$ 인 정수 $r$, $n$에 대해 다음을 증명하여라.
(1) $\frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom nr$ 은 정수이다.
(2) $n \geq 9$에 대해 $\displaystyle \sum_{r=0}^{[n/2]} \frac{n+1-2r}{n+1-r} \binom nr < 2^{n-2}$
태그 보관물: 이항계수
1993 아일랜드 수학올림피아드 8번문제
이항계수 $\binom nr$은 $n$개 사물에서 $r$를 택하는 경우의 수를 나타내고, $\binom n0 = 1$, 그리고 $n < r$ 이면 $\binom nr = 0$ 으로 정의한다. $1 \leq r \leq n$ 인 임의의 정수 $r$, $n$에 대해 다음 항등식을 증명하여라.\[ \sum_{d=1}^\infty \binom{n-r+1}d \binom{r-1}{d-1} = \binom nr\]
1989 아일랜드 수학올림피아드 10번문제
(1) $\binom{2n}n = \frac{(2n)!}{n!\,n!}$ 은 $2^{2n}$보다 작고 $n < p < 2n$ 인 모든 소수 $p$를 소인수로 가짐을 보여라. (2) $x$ 이하의 소수의 개수를 $\pi(x)$로 나타내자. $n > 2$ 이면 $\pi(2n) < \pi(n) + \dfrac{2n}{\log_2 n}$ 임과 $\pi(2^n) < \dfrac{2^{n+1}}n \log_2(n-1)$ 임을 보여라. 이로부터 다시 $x \geq 8$ 일 때 $\pi(x) < \dfrac{4x}{\log_2 x} \log_2 \log_2 x$ 임을 보여라.
1990 제3회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
다음 등식을 증명하여라. \[\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} \binom nk =
\frac {2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!}\]\[\sum_{i=k}^n \binom ik = \binom {n+1}{k+1}
\] 단, $\binom mn = \frac{m!}{(m-n)! n!}$ 이다.
1993 제6회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
자연수 $n$이 주어져 있다. 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$를 구하여라. \[ \binom{n}{0}f(x)+\binom{n}{1}f(x^2)+\binom{n}{2}f(x^{2^2})+\cdots+\binom{n}{n-1}f(x^{2^{n-1}})+\binom{n}{n} f(x^{2^n})=0.\]
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오후 1번문제
자연수 $n$과 $r$에 대하여 $F(n,r)=1^r + 2^r +\cdots n^r$이라고 가정하자.
(1) $(n+1)^{r+1}-(n+1)={{r+1} \choose 1}f(n,r)+{{r+1} \choose 2}F(n,r-1)+\cdots+{{r+1}\choose r}F(n,1)$임을 보여라.
(2) $F(n,r)$은 $n$에 관한 $(r+1)$차 다항식임을 보여라.
(1997년 10월 12일, 출처)