1973 미국수학올림피아드 2번문제

다음과 같이 정의되는 수열 $\{X_n\}$, $\{Y_n\}$이 있다. \begin{align*} X_0=1, & \quad X_1=1, & \quad X_{n+1} = X_n + 2 X_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \\ Y_0=1, & \quad Y_1=7, & \quad Y_{n+1} = 2 Y_n + 3 Y_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{align*} 이 두 수열의 처음 몇 항은 다음과 같다. \begin{align*} X : & 1, ~ 1, ~ 3, ~ 5, ~ 11, ~ 21, ~ \ldots \\ Y : & 1, ~ 7, ~17, ~55, ~161, ~487, ~ \ldots \end{align*} 이 두 수열에 공통으로 나타나는 수는 1 밖에 없음을 보여라.

1988 아일랜드 수학올림피아드 11번문제

나눗셈을 할 수 없는 상황일 때는 종종 $\frac1a$ $(a>0)$ 의 십진전개를 얻기 위해 다음의 식을 반복하는 것이 편할 때가 있다.\[ x_{k+1} = x_k(2 – ax_k), \qquad k = 0, 1, 2, \ldots\] 단, $x_0$은 초기값으로 하나 선택된 것이다. 이 점화식에 의해 수열이 원하는 값 $\frac1a$로 수렴하기 위한 초기값 $x_0$의 조건을 구하여라.