두 변 $AC$와 $BC$의 길이가 같은 이등변삼각형 $ABC$에 대하여, 선분 $BA$를 점 $A$쪽으로 연장한 연장선 위에 점 $D$를 잡고, 삼각형 $DAC$의 외접원 $O_1$이 직선 $BC$와 만나는 점을 $E$라 하자. 점 $D$에서 원 $O_1$에 대한 접선이 직선 $BC$와 만나는 점을 $F$라 하고, 삼각형 $DBF$의 외접원 $O_2$와 $O_1$의 교점을 $G$라 하자. 삼각형 $BEG$의 외심을 $O$라 하자. 이때, 직선 $FG$가 삼각형 $BEG$의 외접원에 접할 필요충분조건이 직선 $DG$와 직선 $FO$가 직교하는 것임을 보여라.

각 $B$가 둔각인 삼각형 $ABC$의 외접원 $O$에 대하여, 점 $C$에서 원 $O$에 접하는 접선과 직선 $AB$의 교점을 $B_1$, 삼각형 $AB_1C$의 외접원의 중심을 $O_1$이라 하자. 선분 $BB_1$의 내부의 점 $B_2$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점 중에서 점 $C$에 가까운 점을 $C_1$, 삼각형 $AB_2C_1$의 외접원의 중심을 $O_2$라 하자. 두 직선 $OO_2$와 $AO_1$이 직교할 때, 다섯 개의 점 $O$, $O_2$, $O_1$, $C_1$, $C$가 한 원 위에 있음을 보여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)

원 $O$에 내접하는 육각형 $ABCDEF$에 대하여, 선분 $BD$와 $CF$의 교점을 $G$, 선분 $AC$와 $BE$의 교점을 $H$, 선분 $AD$와 $CE$의 교점을 $I$라 하자. 선분 $BD$와 $CF$가 서로 직교하고, $CI=AI$일 때, 두 조건 $CH=AH+DE$와 $GH\cdot BD=BC\cdot DE$가 서로 필요충분조건임을 보여라.
(2008년 3월 22일, 출처4시간 30분)