2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B2

\[f(x)=1+\sum_{n=1}^N a_n \cos(2\pi nx)\]꼴의 함수 중
(i) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)\ge 0$이고
(ii) 모든 3의 배수 $n$에 대해 $a_n=0$
인 것들을 모은 것의 집합을 $C_N$이라 하고 $C=\cup_{N=1}^\infty C_N$이라 하자. 이때 $f\in C$인 함수 중 $f(0)$ 값의 최대값은 무엇인지 그것의 존재성을 증명하고 값도 구하여라.

2013 미국 TSTST 2번문제

어떤 수 $x$가 있어서 모든 $1\le k\le n$에 대해 $a_k=\lfloor kx\rfloor$일 때, 정수의 유한수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$을 규칙적이라고 부르자. 규칙적인 수열 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 $1\le k\le n$에 대해 $b\neq a_k$이면서 \[a_1,a_2,\ldots,a_{k-1},b\]이 규칙적인 수열이 될 수 없는 경우 이러한 수열의 항 $a_k$를 끼였다고 부르자. $1000$개의 항을 가진 규칙적인 수열에서 얻을 수 있는 끼인 항의 수의 최대값을 구하여라. (단, $\lfloor x\rfloor $란 $x$보다 크지 않는 정수 중 최대인 것을 뜻한다. )
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)

2012 국제수학올림피아드 Short List C3

가로로 999칸, 세로로 999칸이 있는 바둑판의 각 칸이 흰색 혹은 빨간색으로 칠해져있다. 칸 $C_1$이 칸 $C_2$와 같은 행에 있고 칸 $C_3$는 칸 $C_2$와 같은 열에 있으며 $C_1$, $C_3$는 흰색, $C_2$는 빨간색인 세 칸의 순서쌍 $(C_1,C_2,C_3)$의 수를 $T$라 하자. $T$ 값이 가능한 최대값을 구하여라.

2013 미국수학올림피아드 3번문제

양의 정수 $n$이 있다. 한쪽 면에는 흰색, 다른 쪽 면에는 검은색이 칠해져있는 총 $n(n+1)/2$개의 납작한 돌을 한 변에 $n$개의 돌이 있는 정삼각형 모양으로 늘어놓았다. 처음에는 모든 돌이 검은색이 보이도록 놓여있다고 한다. 정삼각형의 변과 평행한 직선을 아무렇게나 골라 그 직선과 만나는 모든 돌을 뒤집는 작업을 하고자 한다. 어떤 상태가 가능하다는 말은 작업을 유한번 하면 그 상태로 만들 수 있다는 뜻이다. 어떤 상태 $C$가 가능할 때, $f(C )$를 처음 상태에서 최소 몇 번의 작업을 해야 그 상태로 만들수 있는 최소의 작업의 횟수라 하자. 이때 가능한 모든 상태 $C$ 중 얻을 수 있는 최대의 $f(C )$ 값을 구하여라.
(2013년 4월 30일, 4시간 30분, 출처)