2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

벡터공간 $\mathbb R^n$의 리만 계량(Riemann metric)이 임의의 두 점에 대해 그 두 점을 있는 유일한 최소 거리의 측지선(geodesic) $g(a,b)$가 있다고 한다. 모든 $a\in \mathbb R^n$에 대해 $a$에 대응되는 리만 거리(Riemannian distance) $\rho_a:\mathbb R^n\to\mathbb R$이 아래로 볼록하고 $a$ 바깥에서 미분가능하다고 하자. 이때 $a,b$와 다른 점 $x$에 대해 \[ \partial_i \rho_a(x)=-\partial_i \rho_b(x), \quad i=1,\ldots,n\]이 성립한다는 것과 $x$가 $g(a,b)$ 위에 있다는 것이 동치임을 보여라.

2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 11번문제

(a) 평면 위에 타원이 있다. 이때 전체 평면에 정의된 리만 계량 중 주어진 타원이 측지선(geodesic)이 되게 하는 것이 존재함을 증명하라. 아울러 그러한 리만 계량은 항상 가우스 곡률(Gaussian curvature) 값이 양수임을 보여라.
(b) 평면 위에 같은 점을 두 번 지나지 않고 시작점과 끝점이 같은 두 매끄러운 곡선(smooth curve)이 있다. 이때 두 곡선이 동시에 어느 한 리만 계량의 측지선이라고 한다면, 평면 위의 어떤 점에서는 가우스 곡률이 0이 됨을 증명하라.