볼록사각형 $O_1O_2O_3O_4$의 내부에 고정된 점 $P$가 있다. 각 $i = 1,2,3,4$에 대하여, 점 $P$를 지나고 두 반직선 $\overrightarrow{O_iO_{i+1}}, \overrightarrow{O_iO_{i-1}}$과 각각 서로 다 른 두 점 $A_i$, $B_i$에서 만나는 직선 $\ell$을 생각하자. 두 선분 $PA_i$, $PB_i$의 길이의 곱 $\overline{PA_i}\cdot \overline{PB_i}$가 최소가 되도록 하는 직선 $\ell$을 $\ell_i$라고 할 때,
$\ell_1 =\ell_3$, $\ell_2 =\ell_4$이면 사각형 $O_1O_2O_3O_4$가 평행사변형임을 보여라. 단, $\vec{XY}$는 점 $X$에서 시작하여 점 $Y$로 향하는 반직선이고, $O_0 =O_4$, $O_5 =
O_1$이다.
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2012 국제수학올림피아드 Short List G2
원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만난다고 하자. 반직선 $DA$와 $CB$가 점 $F$에서 만난다고 한다. 사각형 $ECGD$가 평행사변형이 되게 점 $G$를 잡자. 직선 $AD$에 대해 점 $E$를 대칭시켜 얻은 점을 점 $H$라 하자. 이때 $D$, $H$, $F$, $G$는 한 원 위에 있음을 보여라.
2012 Baltic Way 팀수학경시대회 15번문제
원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 외접원의 중심 $O$가 사각형 $ABCD$ 내부에 있지만 대각선 $AC$ 위에는 없다고 한다. 이 사각형의 두 대각선이 만나는 점을 $I$라 하자. 삼각형 $AOI$의 외접원이 변 $AD$와 $AB$를 각각 점 $P$, $Q$에서 만난다고 하자. 삼각형 $COI$의 외접원이 변 $CB$와 $CD$를 각각 점 $R$, $S$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $PQRS$는 평행사변형임을 증명하라.
2012 이란 TST 시험2 첫째날 3번문제
평행사변형 $ABCD$에서 변 $AB$와 $AD$에 접하는 원 $O_1$과 변 $BC$와 $CD$에 접하는 원 $O_2$가 있다고 한다. 직선 $AD$와 직선 $DC$에 접하면서 원 $O_1$과 원 $O_2$에 외접하는 원이 있다고 하자. 이때 직선 $AB$, $BC$에 접하면서도 원 $O_1$과 원 $O_2$에 외접하는 원도 존재함을 보여라.
2011 캐나다수학올림피아드 2번문제
맞은 편 변끼리 서로 평행하지 않는 사각형 $ABCD$가 있다고 하자. 직선 $AB$와 직선 $CD$의 교점을 $X$, 직선 $AD$와 직선 $BC$의 교점을 $Y$라 하자. 각 $AXD$의 각이등분선이 변 $AD$와 변 $BC$에서 각각 점 $E$와 점 $F$에서 만난다고 하자. 각 $AYB$의 각이등분선은 변 $AB$와 변 $CD$에서 각각 점 $G$와 점 $H$에서 만난다고 하자. 이때 사각형 $EGFH$는 평행사변형임을 증명하라.
(2011년 3월 23일)
2011 제25회 한국수학올림피아드 고등부 1번
반지름의 길이가 같은 두 원 $O$, $O′$이 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서만 만난다고 하자.원 $O$위의 점 $P(\neq A,B)$, 원 $O′$ 위의 점 $Q(\neq A,B)$에 대하여 $R(\neq B)$을 $PAQR$이 평행사변형이 되도록 택하자. 네 점 $B$, $R$, $P$, $Q$가 한 원 위에 있으면 $P Q = OO′$임을 보여라.
(2011년 8월 21일)