예각삼각형 $ABC$에서 점 $A$, $B$, $C$에서 맞은 편 변으로 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 삼각형 $AEF$와 $BDF$의 내심을 각각 $I_1$, $I_2$라 하자. 삼각형 $ACI_1$과 $BCI_2$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 이때 직선 $O_1O_2$와 $I_1I_2$는 평행함을 보여라.
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2013 중국 TST1 1번문제
그림과 같이 사각형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접한다고 하고, $AC$, $BD$는 점 $F$에서 만나고, 직선 $BA$와 직선 $CD$가 점 $E$에서 만난다. 점 $F$에서 $AB$, $CD$ 위에 내린 수선의 발을 각각 $G$, $H$라 하고, 점 $M$, $N$은 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점이라 하자. 삼각형 $MNG$의 외접원과 선분 $BF$의 유일한 교점을 $P$, 삼각형 $MNH$의 외접원과 선분 $CF$의 유일한 교점을 $Q$라 할때, 직선 $PQ$가 직선 $BC$와 평행함을 보여라.
(2013년 3월 13일, 출처, 4시간 30분)
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 6번문제
삼각형 $ABC$의 내접원 $O$가 변 $BC$, $CA$와 각각 $D$, $E$에서 접한다. 점 $B$를 지나고 직선 $DE$와 평행한 직선이 원 $O$와 두 점에서 만난다고 하자. 이 두 점 중 $B$와 가까운 점을 $F$, 다른 점을 $G$, 직선 $CG$와 원 $O$의 교점을 $H$ ($\ne G$)라 하자. 점 $G$를 지나고 직선 $EH$와 평행한 직선과 직선 $AC$의 교점을 $I$라 할 때, 직선 $IF$와 원 $O$가 서로 다른 두 점 $J$, $F$에서 만난다고 하자. 직선 $CJ$와 직선 $EG$의 교점을 $K$, 점 $K$를 지나고 직선 $JD$와 평행한 직선을 $\ell$이라 할 때, 세 직선 $\ell$, $IF$, $ED$는 한 점에서 만남을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
2011 미국수학올림피아드 5번문제
사각형 $ABCD$ 내부에 점 $P$가 주어져있다고 하자. 사각형 $ABCD$ 내부에 점 $Q_1$과 $Q_2$를 $\angle Q_1 BC = \angle ABP$, $\angle Q_1 CB = \angle DCP$, $\angle Q_2 AD = \angle BAP$, $\angle Q_2 DA = \angle CDP$를 만족하도록 잡자. 이때 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{AB}$와 평행할 필요충분조건이 직선 $\overline{Q_1Q_2}$가 직선 $\overline{CD}$와 평행함임을 증명하여라.
2009 제22회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
예각삼각형 $ABC$에 대하여 $\angle B \lt \angle C$라 하자. 직선 $AC$와 점 $C$에서 접하고 점 $B$를 지나는 원의 중심을 $O$, 원 $O$가 선분 $AB$와 만나는 점을 $D$라 하자. 직선 $CO$가 원 $O$와 만나는 점을 $P$, 점 $P$를 지나고 직선 $AO$와 평행한 직선이 직선 $AC$와 만나는 점을 $E$, 직선 $EB$가 원 $O$와 만나는 점을 $L$이라 하자. 단, $L$은 $B$와 다른 점이라 가정하자. 선분 $BD$의 수직이등분선과 직선 $AC$의 교점을 $F$, 직선 $LF$와 $CD$의 교점을 $K$라 할 때, 직선 $EK$와 $CL$이 서로 평행임을 보여라.
(2009년 3월 29일, 출처4시간 30분)