2012 국제수학올림피아드 Short List G2

원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만난다고 하자. 반직선 $DA$와 $CB$가 점 $F$에서 만난다고 한다. 사각형 $ECGD$가 평행사변형이 되게 점 $G$를 잡자. 직선 $AD$에 대해 점 $E$를 대칭시켜 얻은 점을 점 $H$라 하자. 이때 $D$, $H$, $F$, $G$는 한 원 위에 있음을 보여라.

2012 국제수학올림피아드 Short List G4

외심이 $O$이고 변 $AB$와 변 $AC$의 길이가 다른 삼각형 $ABC$가 있다. 각 $BAC$의 이등분선이 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 점 $D$를 변 $BC$의 중점으로 대칭시켜 얻은 점을 $E$라 하자. 직선 $BC$와 수직이며 점 $D$을 지나는 직선이 직선 $AO$를 만나는 점을 $X$, 직선 $BC$와 수직이며 점 $E$를 지나는 직선이 직선 $AD$와 만나는 점을 $Y$라 하자. 이때 $B$, $X$, $C$, $Y$는 한 원 위에 있음을 보여라.

2013 이란 TST 1번문제

예각삼각형 $ABC$의 꼭지점 $A$에서 변 $BC$로 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 삼각형 $ABH$와 삼각형 $ACH$의 변 $AH$에 접하는 방접원의 중심을 각각 $J$와 $I$라 하자. 삼각형 $ABC$의 내접원과 변 $BC$가 만나는 점을 $P$라 할 때, 네 점 $I$, $J$, $P$, $H$가 한 원 위에 있음을 증명하라.
(2013년, 출처)

2013 제27회 노르딕 수학경시대회 4번문제

예각삼각형 $ABC$ 내부의 점 $H$를 생각하자. 점 $H$를 변 $AB$와 변 $AC$에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c$와 $H_b$라 하자. 점 $H$를 변 $AB$의 중점과 변 $AC$의 중점에 대칭시켜 얻은 점을 각각 $H_c’$와 $H_b’$이라 하자. 이때 네 점 $H_b$, $H_b’$, $H_c$, $H_c’$이 한 원이 있을 필요충분조건은 그 네 점 중 두 개 이상이 같은 점이거나 $H$가 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선 위에 있다는 것임을 증명하라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)

2013 중국 TST1 5번문제

삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $L$, $M$, $N$이라 하고, 삼각형 $ABC$ 내부에 \[ PL:PM:PN=BC:CA:AB\]가 되는 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$, $B$, $C$가 아닌 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 이때 삼각형 $APF$, $APE$, $BPF$, $BPD$, $CPD$, $CPE$ 각각의 외심을 모두 지나는 원이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)

2009 제22회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제

각 $B$가 둔각인 삼각형 $ABC$의 외접원 $O$에 대하여, 점 $C$에서 원 $O$에 접하는 접선과 직선 $AB$의 교점을 $B_1$, 삼각형 $AB_1C$의 외접원의 중심을 $O_1$이라 하자. 선분 $BB_1$의 내부의 점 $B_2$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점 중에서 점 $C$에 가까운 점을 $C_1$, 삼각형 $AB_2C_1$의 외접원의 중심을 $O_2$라 하자. 두 직선 $OO_2$와 $AO_1$이 직교할 때, 다섯 개의 점 $O$, $O_2$, $O_1$, $C_1$, $C$가 한 원 위에 있음을 보여라.
(2009년 3월 28일, 출처4시간 30분)