양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$와 $B$가 주어져 있다. 다음 $2n\times 2n$ 실행력 \[C_t=\begin{pmatrix} A & t^2 B\\ B&A\end{pmatrix}\]는 $\det(C_t)=\det(A+tB)\det(A-tB)$를 만족함을 보여라 (단, $t$는 실수).
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2014 제33회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 6번문제
양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$인 실행력 $A$, $B$가 $xA+yB=I$ (단, $x,y$는 $0$이 아닌 실수), $AB=O$를 만족할 때, \[ \det(A+B)=\frac{1}{x^{\operatorname{rank}(A)}y^{\operatorname{rank}(B)}}\]가 성립함을 보여라.
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 1번문제
주어진 $2013\times 2013$ 행렬 $A$의 임의의 행은 서로 다른 2013 이하의 양의 정수로 이루어져 있다. 행렬 $A$의 행렬식이 2013의 배수임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 7번문제
크기가 $n\times n$인 실행렬 $A$의 모든 행벡터의 크기는 1이고 $\operatorname{tr}(A)>\sqrt{n(n-1)}$일 때, $\det(A)\neq 0$임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오전 3번문제
실수 성분으로 이루어진 임의의 $n\times n$행렬 $A, B$에 대하여 \[\det (A^{t}A+B^{t}B) \ge 0\]임을 보여라. 단, $A^{t}$는 $A$의 전치행렬(transpose matrix)을 나타낸다.
(1997년 10월 12일, 출처)