2014 제33회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 5번문제

양의 정수 $n$ ($n\ge 2$)에 대하여 $n\times n$ 실행렬로 이루어진 실벡터 공간을 $M_n(\mathbb R)$이라 하자. 다음의 조건을 모두 만족하는 부분집합 $V$는 $M_n(\mathbb R)$과 같음을 보여라 (단, $E_{ij}$는 $i$행과 $j$영이 만나는 항만 $1$이고 나머지는 모두 $0$인 행렬).
(1) $V$는 $M_n(\mathbb R)$의 부분공간이다;
(2) $A,B\in V$이면 $AB\in V$이다;
(3) $E_{12}+E_{23}+\cdots+E_{n-1,n}\in V$이고 $E_{21}+E_{32}+\cdots+E_{n,n-1}\in V$.

2013 이란 TST2 1번문제

음아닌 실수 $p_1,p_2,\ldots,p_n$과 $q_1,q_2,\ldots,q_n$이 \[p_1+\cdots+p_n=q_1+\cdots+q_n\]을 만족한다 하자. $i$번째 행의 합이 $p_i$이고 $j$번째 열의 합의 $q_i$이며 각 칸이 음 아닌 실수인 행렬의 주 대각선 칸들의 합이 가질 수 있는 값의 최대값을 구하여라.
(2013년, 출처)

2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A5

정수를 소수 $p$로 나눈 나머지들의 집합으로 만들어진 체를 $\mathbb{R}_p$라 하자. 양의 정수 $n$과 $\mathbb{F}_p^n$에 속한 벡터 $v$가 있다고 하자. 체 $\mathbb{R}_p$의 원소로 만들어진 $n\times n$ 행렬 $M$에 대해 함수 $G:\mathbb{F}_p^n\to\mathbb{F}_p^n$을 $G(x)=v+Mx$로 정의하자. $G$를 $k$번 합성해서 얻은 함수를 $G^{(k)}$라 하자. 즉, $G^{(1)}(x)=G(x)$이고 $G^{(k+1)}(x)=G(G^k(x))$이다. $k=1,2,\ldots,p^n$에 대해 얻어지는 벡터 $G^{(k)}(0)$, 총 $p^n$개가 모두 서로 다르게 할 $p$와 $n$ 모든 쌍을 구하시오.
(2012년 12월 1일)