$x_0$를 홀수인 자연수라고 하고, $x_i=\frac{3x_{i-1}+1}{2}$ ($i=1,2,\ldots$)라고 정의할 때, $x_n$이 짝수가 되는 자연수 $n$이 존재함을 보여라.
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2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 5번문제
$2013$개의 구슬을 꿰어 만든 원형의 목걸이가 있다. 각각의 구슬은 흰색 아니면 녹색이다. 목걸이에서 임의의 연속한 $21$개의 목걸이 중에 적어도 하나의 녹색 구슬이 있으면 그 목걸이 색깔은 좋다고 하자. 가능한 좋은 색깔의 수는 홀수임을 증명하라.
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)
2013 중국여자수학올림피아드 8번문제
짝수인 정수 $n(\ge 4)$이 있다. 정$n$각형의 각 꼭지점에 $n$개의 서로 다른 수가 적혀있고, $n$개의 변을 시계방향으로 $e_1,e_2,\ldots,e_n$이라 부르자. 어떤 변의 양 끝점에 적힌 수가 시계 방향으로 증가하는 방향일 때 그 변을 양이라 부르자. 두 서로 다른 변의 쌍 $\{e_i, e_j\}$가 다음 두 조건을 동시에 만족하면 오르락내리락이라 하자.
(i) $i+j$는 짝수이다.
(ii) $e_i$, $e_j$의 양 끝점에 적힌 수들을 크기 순으로 $a\lt b\lt c\lt d$로 나열하면 $a$와 $c$가 $e_i$ 혹은 $e_j$ 하나의 양 끝점에 적힌 수이다.
이때 오르락내리락인 변의 쌍의 수와 양인 변의 수의 합은 홀수임을 증명하라.
(2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)
2013 중국 TST2 4번문제
정수 $N>1$을 소인수분해한 것이 $N=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$라 할 때 $\Omega(N)=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k$라 하자. 양의 정수 $a_1,a_2,\ldots,a_n$에 대해 다항식 $P(x)=(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$이 모든 양의 정수 $k$에 대해 $\Omega(P(k))$가 짝수가 된다고 한다. 이때 $n$이 짝수임을 증명하라.
(2013년 3월 19일, 출처, 4시간 30분)
2013 인도수학올림피아드 4번문제
$1$보다 큰 정수 $n$에 대해, 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 공집합 아닌 부분집합 중 원소의 평균이 정수가 되는 것의 수를 $T_n$이라 하자. 이때 $T_n-n$은 항상 짝수임을 보여라.
(2013년 2월 3일, 출처, Putnam 2002년 A3 문제와 동일)
2012 이란 TST 시험1 첫째날 1번문제
다음 성질을 만족하는 모든 정수 $n\ge 2$를 모두 구하시오.
$0\le i,j\le n$인 모든 정수 $i$, $j$에 대해 $i+j$와 $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$의 홀짝이 같다.