폐구간 $[0,1]$에서 균일 분포인 확률변수 $U$에 대해 \[ S_n=2 \sum_{k=1}^n \sin (2k U\pi)\]라 하자. 이때 $n\to \infty$로 갈 때, $S_n$의 분포는 확률 밀도 함수가 $f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$인 코시 분포임을 보여라.
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2012 Miklós Schweitzer 수학경시대회 11번문제
$X_1,X_2,\ldots$는 동일한 확률분포를 갖는 독립확률변수라 하자. 양의 정수 $n$에 대해 $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$이라 하자. 다음 부등식을 만족시키는 모든 실수 $c$를 구하라.
\[P\left( \left\lvert \frac{S_{2n}}{2n}-c\right\rvert \le \left\lvert \frac{S_n}{n}-c\right\rvert\right)\ge \frac12.\]