양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$인 실행력 $A$, $B$가 $xA+yB=I$ (단, $x,y$는 $0$이 아닌 실수), $AB=O$를 만족할 때, \[ \det(A+B)=\frac{1}{x^{\operatorname{rank}(A)}y^{\operatorname{rank}(B)}}\]가 성립함을 보여라.
태그 보관물: rank
2014 제33회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 3번문제
양의 정수 $m$에 대하여 $A^m=O$를 만족하는 임의의 $n\times n$ 실행력 $A$는 \[ \operatorname{rank}(A)\le \frac{m-1}m n\]을 만족함을 보여라 (단, $O$는 영행렬).
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 4번문제
임의의 $n\times n$ 실행렬 $A$, $B$와 $n\times n$ 단위 행렬 $I$에 대하여 다음을 증명하라. \[ \operatorname{rank}(I+AB)=\operatorname{rank}(I+BA).\]
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)
2012 국제대학생수학경시대회(IMC) 첫째날 2번문제
고정된 양의 정수 $n$이 주어져있다. 이때, 주 대각선 값은 모두 $0$이고 그 외의 값은 모두 양의 실수 값이 들어있는 $n\times n$ 행렬의 rank 값의 최소값을 구하라.
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)