다음 명제를 성립하게 하는 양의 정수 $n \geq 2$를 모두 구하여라: $a_1+a_2+\cdots+a_n=2n-1$을 만족하는 임의의 양의 정수열 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$에 대해, 최소한 두 개 이상의 연속한 항이 존재하여 그들의 산술평균이 정수이다.
(2012년 2월 1일, 출처)
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2012 미국 TST 8번문제
다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a,n \geq 1$을 모두 구하여라: $a^n-1$을 나누는 임의의 소수 $p$에 대해, $p|a^m-1$을 만족시키는 양의 정수 $m \lt n$이 존재한다.
(2012년 2월 1일, 출처)
2012 중국 TST3 둘째날 3번문제
가로로 2012칸, 세로로 2012칸이 있는 바둑판의 각 칸에 벌이 한마리 이하로 있다고 하자. 모든 벌이 일시에 자리를 이동하되 여전히 각 칸에 한마리 이하가 되도록 이동하였다고 하자. 어떤 벌 B가 어떤 칸에서 다른 칸으로 이동할 때, 출발한 칸의 중심에서 도착한 칸의 중심까지를 나타내는 벡터를 벌 B의 이동벡터라 하자. 이때, 모든 가능한 시작 상황과 도착 상황에 대해 벌들의 이동벡터의 합의 길이의 최댓값을 구하여라.
2012 중국 TST3 둘째날 2번문제
$1<m<k$이고 $1<n<k$이면서 $\gcd(m,k)=\gcd(n,k)=1$, $m+n>k$이고 $k$가 $(m-1)(n-1)$의 약수가 되도록 하는 정수 $m$, $n$이 존재할 정수 $k\ge 3$를 모두 구하시오.
2012 중국 TST3 둘째날 1번문제
주어진 정수 $n\ge 4$에 대해 $S=\{1,2,\ldots,n\}$이라 하자. 집합 $S$의 두 부분집합 $A$, $B$에서 임의의 원소 $a\in A$, $b\in B$에 대해 $ab+1$이 완전제곱수라면 \[ \min{|A|,|B|}\le \log_2 n\]임을 증명하라.
2012 중국 TST3 첫째날 3번문제
임의의 2012차 다항식 $P(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots+a_1 x+a_0$과, 거기서 계수 몇 개를 아무렇게나 뽑아 $-1$을 곱하여 얻은 다항식 $Q(x)$에서 $Q(z)=0$의 모든 복소수 해 $z=a+bi$에 대해 $|b|\le c |a|$가 성립하게 할 최소의 실수 $c$ 값을 구하여라.