$\angle BAC=30^\circ$인 예각삼각형 $ABC$에서, $\angle ABC$의 내각과 외각의 이등분선이 직선 $AC$와 만나는 점을 각각 $B_1$, $B_2$라고 하고, $\angle ACB$의 내각과 외각의 이등분선이 직선 $AB$와 만나는 점을 각각 $C_1$, $C_2$라 하자. 선분 $B_1B_2$와 $C_1C_2$를 각각 지름으로 하는 두 원의 교점이 삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에서 만난다고 가정할 때, $\angle BPC=90^\circ$임을 보여라.