삼각형 $ABC$는 $AB > AC인 예각삼각형이고, 점 $D$는 삼각형 $ABC$의 내부의 점으로 $\angle DAB = \angle CAD$를 만족한다. 점 $E$는 선분 $AC$위의 점으로 $\angle ADE = \angle BCD$를 만족하고, 점 $F$는 선분 $AB$ 위의 점으로 $\angle FDA = \angle DBC$를 만족하고, 점 $X$는 직선 $AC$ 위의 점으로 $CX = BX$를 만족한다. 삼각형 $ADC$와 삼각형 $EXD$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 세 개의 직선 $BC$, $EF$, $O_1O_2$가 한 점에서 만남을 보여라.
카테고리 보관물: 기하
2021 국제수학올림피아드 4번문제
사각형 $ABCD$는 볼록사각형이고, 중심이 $I$인 원 $\Gamma$는 선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$에 접한다. 삼각형 $AIC$의 외접원을 $\Omega$라고 하자. 선분 $BA$의 $A$쪽 연장선이 원 $\Omega$와 점 $X$에서 만나고, 선분 $BC$의 $C$쪽 연장선이 원 $\Omega$와 점 $Z$에서 만난다. 선분 $AD$와 $CD$의 $D$쪽 연장선들이 원 $\Omega$와 만나는 점을 각각 $Y$와 $T$라 하자. 다음이 성립함을 보여라. \[ AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC\]
2020 국제수학올림피아드 1번문제
볼록사각형 $ABCD$의 내부에 한 점 $P$가 있도, 다음 비례식이 성립한다. \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]
이때 다음 세 직선이 한 점에서 만남을 보여라: 각 $\angle ADP$, $\angle PCB$의 내각의 이등분선, 선분 $AB$의 수직이등분선.
2020 국제수학올림피아드 6번문제
다음 조건을 만족하는 양의 상수 $c$가 존재함을 보여라.
정수 $n > 1$에 대하여, 임의의 두 점 사이의 거리가 $1$ 이상인 $n$개의 평면 위의 점으로 이루어진 집합
$S$를 생각하자. 어떤 직선 $\ell$이 존재하여, $S$를 두 집합으로 나누고 $S$의 각 점으로부터 $\ell$까지의 거리가 $cn^{−1/3}$ 이상이다.
(직선 $\ell$이 점의 집합 $S$를 나눈다는 것은 $S$에 속하는 어떤 두 점을 연결하는 선분이 $\ell$과 만난다는 것이다.)
Note. $cn^{−1/3}$인 경우 대신 이보다 약한 결과인 $cn^{−\alpha}$인 경우에 대해 보인 경우, 상수 $\alpha > 1/3$의 값에 따라 부분점수가 주어질 수 있다.
2019 국제수학올림피아드 2번문제
삼각형 $ABC$의 두 변 $BC$, $AC$ 위에 각각 점 $A_1$, $B_1$이 있다. 두 점 $P$, $Q$는 각각 선분 $AA_1$, $BB_1$ 위에 있고 $PQ$는 $AB$와 평행하다. 점 $P_1$은 직선 $PB_1$ 위에 있고 $B_1$은 $P$와 $P_1$ 사이에 있으며 ($B_1\neq P, P_1$), $\angle PP_1C=\angle BAC$이다. 이와 유사하게 점 $Q_1$은 직선 $QA_1$ 위에 있고 $A_1$은 $Q$와 $Q_1$ 사이에 있으며 ($A_1\neq Q, Q_1$), $\angle CQ_1Q=\angle CBA$이다. 이때, 네 점 $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$이 한 원 위에 있음을 보여라.
2019 국제수학올림피아드 6번문제
예각삼각형 $ABC$의 내심은 $I$이고 $AB\neq AC$이다. 삼각형 $ABC$의 내접원 $\omega$는 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 점 $D$를 지나고 $EF$에 수직인 직선이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $AR$이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $PCE$의 외접원과 삼각형 $PBF$의 외접원이 만나는 점을 $Q$($Q\neq P$)라 할 때, 두 직선 $DI$와 $PQ$의 교점이 $A$를 지나고 $AI$와 수직인 직선 위에 있음을 보여라.