두 실수 $a<b$가 있다. 두 연속함수 $f:[a,b]\to(0,\infty)$가 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx$이지만, $f \neq g$이라고 한다. 각각의 양의 정수 $n$에 대하여 \[I_n = \int_a^b \frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,dx\]이라고 정의하자. 이때 $I_1, I_2, I_3, \dots$는 증가수열이며 $\lim_{n \to \infty} I_n = \infty$임을 보여라.
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2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B3
멱급수 $f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_i x^I$의 각각의 계수 $c_i$가 $0$ 또는 $1$이라고 한다. 만일 $f(2/3) = 3/2$이면, $f(1/2)$는 무리수일 수 밖에 없음을 보여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 1번문제
집합 $S=\{1,2,\ldots,201\}$의 원소들을 성분으로 가지는 모든 $n\times n$ 행렬들의 집합을$T$라고 하자. 다음 값을 계산하여라. (단, $n$은 $2$ 이상의 양의 정수이다.) \[ \sum_{A\in T} \det(A)\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 2번문제
임의의 실계수 다항식 $f(x,y)$는 $(x+ay)^k$ 꼴의 다항식들의 실계수 일차결합으로 표현됨을 보여라. (단, $a$는 임의의 실수, $k$는 $0$ 이상의 정수이다.)
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 3번문제
수열 $\{a_n\}$이 $a_1>1$이고 점화식 $a_{n+1}=1+\frac{n^2}{a_n}$을 만족할 때, 극한 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$을 구하여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 4번문제
실계수 3차 다항식 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 세 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 서로 다른 세 실수이기 위한 필요충분조건은 실대칭행렬 \[\begin{pmatrix}3&p_1&p_2\\p_1&p_2&p_3\\p_2&p_3&p_4\end{pmatrix}\]이 양의 정부호(positive definite)임을 보여라. (단, $p_i=\alpha^I+\beta^I+\gamma^I$이다.)