집합 $S=\{1,2,\ldots,201\}$의 원소들을 성분으로 가지는 모든 $n\times n$ 행렬들의 집합을$T$라고 하자. 다음 값을 계산하여라. (단, $n$은 $2$ 이상의 양의 정수이다.) \[ \sum_{A\in T} \det(A)\]

임의의 실계수 다항식 $f(x,y)$는 $(x+ay)^k$ 꼴의 다항식들의 실계수 일차결합으로 표현됨을 보여라. (단, $a$는 임의의 실수, $k$는 $0$ 이상의 정수이다.)

실계수 3차 다항식 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 세 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 서로 다른 세 실수이기 위한 필요충분조건은 실대칭행렬 \[\begin{pmatrix}3&p_1&p_2\\p_1&p_2&p_3\\p_2&p_3&p_4\end{pmatrix}\]이 양의 정부호(positive definite)임을 보여라. (단, $p_i=\alpha^I+\beta^I+\gamma^I$이다.)

양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$는 모든 성분이 $1$인 행렬 $J$에 대하여 다음을 만족한다. \[ A+A^T=\frac1n J, ~ AJ=\frac12 J\] 모든 양의 홀수 $m$에 대하여 $A^m-I$가 가역행렬임을 보여라. (단, $A^T$는 $A$의 전치행렬이다.)

차수가 3 이하인 모든 실계수 다항식으로 이루어진 실벡터공간을 $V$라 하고 선형사상 $T:V\to V$를 다음과 같이 정의한다.

$T(P(x))=x^4 P(x)$를 $(x-1)^2(x+1)^2$으로 나눈 나머지

이 때, $T$의 특성다항식을 구하여라.

양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$가 $A^{n+1}=O$를 만족하면 $A^n=O$임을 보여라. (단, $O$는 영행렬이다.)