두 실수 $a<b$가 있다. 두 연속함수 $f:[a,b]\to(0,\infty)$가 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx$이지만, $f \neq g$이라고 한다. 각각의 양의 정수 $n$에 대하여 \[I_n = \int_a^b \frac{(f(x))^{n+1}}{(g(x))^n}\,dx\]이라고 정의하자. 이때 $I_1, I_2, I_3, \dots$는 증가수열이며 $\lim_{n \to \infty} I_n = \infty$임을 보여라.
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2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B3
멱급수 $f(x) = \sum_{i=0}^\infty c_i x^I$의 각각의 계수 $c_i$가 $0$ 또는 $1$이라고 한다. 만일 $f(2/3) = 3/2$이면, $f(1/2)$는 무리수일 수 밖에 없음을 보여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 3번문제
수열 $\{a_n\}$이 $a_1>1$이고 점화식 $a_{n+1}=1+\frac{n^2}{a_n}$을 만족할 때, 극한 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$을 구하여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 5번문제
다음 극한을 계산하여라. \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} \int_0^\pi \sin^n x\,dx\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 7번문제
수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라. \[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n \cos n\theta\right\rvert \le \frac{\pi a_1}\theta\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 8번문제
다음 미분방정식의 해를 $u(t)$라고 하자. \[ \begin{cases} u”(t)+u'(t)=\sin u(t) \quad (t>0),\\ u(0)=1, ~ u'(0)=0 \end{cases}\]
(1) 함수 $u(t)$와 $u'(t)$가 $t>0$인 범위에서 유계임을 보여라.
(2) 극한 $\lim_{t\to \infty} u(t)$를 구하여라.